奥数 六年级 千份讲义 65 3[1].第二讲 几何 五大模型与构造思想

AEAFDDBFGECADAEDEAF???ABACBCAG； ①

22S：S?AF:AG△ADE△ABC②．

BGC

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

【例 10】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几

倍？

CBOAD

【例 11】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和

EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC?3:1，则四边形EFGH的面积?________．

AFBGEHCD【例 12】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于

52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．

ABCGD

【例 13】 (清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的

中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米．

HFE 关注公众微信号“数学王希伟老师” 获得更多资源与解答

ADEGHF模型四、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

AS2aS1OS3B22S:S?a:b13①

22S:S:S:S?a:b:ab:ab； 1324②

BC

DS4bC

?a?b?． ③S的对应份数为

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 14】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三

角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．

AGDFBHC2E

【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四

边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．

123

【例 15】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．

AODBCE

【巩固】 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，

阴影部分的面积是 平方厘米．

关注公众微信号“数学王希伟老师” 获得更多资源与解答

A9214BEDC【例 16】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连

接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形

MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．

AQDFMGN

【例 17】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的

中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．

BEPC

AEMBFNDC模型五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DCFBDC【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，

所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与

关注公众微信号“数学王希伟老师” 获得更多资源与解答

三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 18】

（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上

11的点，且AE?AB，CF?BC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则?AEG34与?CGF的面积之和为 ．

AEGBFCD

【例 19】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，

AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

AEFHBGIDC

【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求

三角形ABC的面积．

AFIBHGDE

【巩固】 (2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，

AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．

CADGFHB【巩固】 如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求

△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCIC

E

【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是74，

求角形GHI 的面积．

关注公众微信号“数学王希伟老师” 获得更多资源与解答