北京师范大学心理学笔记(3)

心理学学科综合大纲读书笔记——心理统计学 魏广东

是第一名。 二、 二项分布

1． 二项分布的意义 对于选择题，学生每一题的得分也可能真会，也可能是猜对的。选择答案的分数属于二项分布。这种选择题，学生可能选对，也可能选错，只有两种可能，这种只有两种可能结果的分不，成为二项分布。 2． 二项分布的平均数、标准差 μ=np σ=（npq）1/2

μ为平均数，是指理论上推导出来的，称为总体平均数。如果是根据样本实际计算出来的地平均数，就用x（称为样本统计量）表示

σ为标准差，也是理论是推导出来的，故与SD不同。n为题数，p为猜对的概率，q为猜错的概率，如果是是非题，对错概率均为1/2，如果三选一，猜对的概率是1/3，猜错的概率为2/3；四选一，对1/4，错3/4。

μ的意思：即如果一个学生对某一门课一点都没学过，让他回答问卷，完全猜测，也可得一定的分数，如果很多这样的学生，每人都有一个分数，他们的平均分就是μ，这些分数的分散程度就是。由此可知，完全凭运气，得分在μ±1σ之间的学生为68.26%，得分在μ±1.96σ之间的学生约为95%。

判断一个人是否真会而不是猜测，其公式为：

若Z＞1.645，则说明真会，Z＜1.645则说明得分有可能是猜测的

第二节 总体参数的估计

一、估计原理

（一）样本平均数的分布

1． 概念：从正态分布的总体中可无限抽取大小为n的样本，所计算的这无限多个平均数的分布，称为样本平均

数的分布。

2． 标准误：样本平均数的标准差称为标准误，以示与数据分布的标准差的区别。 若总体方差已知，则标准误是（公式）： 若总体方差未知，则标准误是（公式）： 3． 每个结果是无限样本的一次取样。 4． 按样本分布规律进行的推断与解释 （1）正态分布

当总体分布为正态或近似正态，其总体方差已知，样本平均数的分布为正态分布，对样本平均数的分布按正态分布解释：

包含所有平均数的68.26% 包含所有平均数的95% （2）t分布

当总体分布为正态或接近正态，总体方差未知，样本平均数的分布，按t分布解释。 （二）区间估计与点估计 1． 区间估计

（1）概念：区间估计是指用数轴上的一段距离，表示未知参数可能落入的范围。虽不能指出总体参数具体等于什么，但是可指出总体参数落入某区间的可能新概率有多大。 （2）置信区间与显著性水平 ? 置信区间是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。 ? 置信度又称显著性水平、定义阶段、信任系数等，是指估计总体落在某一区间可能犯错误的概率。 2． 点估计

（1）概念：当总体参数不清楚时，用一个特定的值（一般用样本统计量）对其估计，成为点估计。一般用样本平均数估计总体参数μ，用样本标准差S估计总体标准差σ。 （2）点估计应满足的条件

点估计应满足无偏性、一致性、有效性、充分性4个条件。

样本平均数能满足上述几点，所以是总体参数μ的良好估计值。但用样本标准差S估计总体参数σ，则是一

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个有偏的估计量，须将样本标准差改为：（公式）

二、总体平均数的估计 1． 总体正态，方差已知

（1）样本的平均数分布为正态 （2）标准误的公式为： （3）原理：

根据正态分布与标准误的关系

包含μ的可能为68.26% 包含μ的可能为95% 包含μ的可能为99% 可以推论：

任何一个 包含μ的可能为68.26% 任何一个 包含μ的可能为95% 任何一个 包含μ的可能为99% 因此可以说：

估计正确的可能为可能为68.26%，估计错误的可能为31.74% 估计正确的可能为可能为95%，估计错误的可能为5% 估计正确的可能为可能为99%，估计错误的可能为1% 2． 总体正态，方差未知

（1）样本平均数的分布为t分布 ? t分布与正态分布近似，左右对称，分布的形状受自由度（样本容量）的影响。 ? t分布函数与正态分布不同，是一族分布，查表时要注意自由度。 （2）标准误的计算：（公式）

3． 置信区间的计算、显著水平的确定和统计表的选择

（1）显著性水平一般为0.05或0.01，因为这一概率是小概率事件，在一次抽样中不易出现。 （2）查表确定临界值

方差已知：μ落在 之间（查正态表） 方差未知: μ落在 之间（查t表） （3）作此结论正确的可能是1-α，出错的可能为α 三、总体方差与方差差异的区间估计 1． 总体方差的区间估计 （1）公式

（2）解释：根据公式计算的结果为总体方差置信区间，估计正确的概率为1-α，出错的可能为α

（3）推演标准差的置信区间，有了方差的区间估计量，根据标准差的计算公式，将方差开方取正平方根，即可知标准差的估计区间。 2． 方差差异的区间估计

是指两个方差之间差异的区间估计，方差之差异用两方差的比值表示。 （1）公式

（2）解释：根据公式计算的结果为方差差异置信区间，估计正确的概率为1-α，出错的可能为α

（3）标准差的差异估计：有了方差差异的置信区间，可将方差开方取正平方根，即可知标准差差异的估计区间。

第三章 假设检验

第一节 检验的基本问题

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一、假设与假设检验 1． 假设检验的意义

从样本的差异推论总体差异的过程，就是假设检验。 2． 虚无假设H0

在推论研究结果之前所提出来的鱼研究假设相反的假设称为虚无假设。假设检验从肯定或否定其存在可能性开始，一般虚无假设都假设两个总体之间没有差异，μ1=μ2，或者μ1-μ2=0 3． 研究假设H1

研究中所欲证明的假设，又称为科学假设、对立假设。一般假设两个总体参数之间有差异，即μ1≠μ2，或者μ1﹥μ2或μ1﹤μ2

统计学中不能直接对的真实性直接检验，必须通过建立虚无假设来达到检验的目的，若能证明H0为真，则为H1假，若H0为假则H1为真。这是反证的方法。 二、假设检验中的两类错误 1． α错误

（1）概念：又称显著性水平、Ⅰ类错误，是指在否定虚无假设接受对立假设时犯的错误，即将属于没有差异的总体推论成有差异的整体所犯的错误。

（2）α错误的确定原则：α错误的概率一般根据统计学的原则，规定为1%-5%。每一个研究都视作无限多样本或总体的一次抽样，α一般为5%，如果影响大，则α越小越好。 2． 的概念

是指在接受H0为真时犯的错误，在接受H0为真而拒绝时，势必有一部分属于H1总体的部分样本，被视为H0的部分，而被否定在H1之外。 3． α错误和β错误的关系

α错误和β错误是在两个前提下的概率。两个总体的关系若是确定的，则α增大，β就减小；α减小，β就增大。 三、单侧检验与双侧检验

1． 单侧检验：查统计表时，按分布的一侧计算显著性水平概率的检验成为单侧检验。

应用条件：凡是检验大于、小于、高于、低于、优于、劣于等有确定性大小关系的假设检验问题，这类问题的确定有一定的理论依据，假设检验写作H1：μ1﹥μ2或μ1﹤μ2

2． 双侧检验：查统计表时，按分布两端计算显著性水平概率的检验成为双侧检验。

应用条件：凡理论上不能确定两个总体一个比另一个大或小的检验假设。一般假设检验写作H1：μ1≠μ2

第二节 平均数差异显著性检验

一、平均数显著性检验

1． 概念：是指研究样本的总体与已知总体μ0差异是否显著的假设检验。

2． 原理：总体正态分布或接近正态分布的样本平均数的分布为正态分布或t分布，按分布率进行推论。 3． 总体正态分布，方差已知，其样本平均数的分布为正态分布， （1） 标准误的计算（公式）

（2） 临界值的计算（公式）

4． 总体正态分布或接近正态，放差未知，其样本平均数的分布为t分布 （1） 公式

（2） 临界值的计算（公式）

（3）表查t值，按t分布进行解释。 5． α水平与解释 （1） α=0.01～0.05或0.10 （2） 解释 ? 如果正态分布，当临界值大于1.96或2.58时，可以作出平均数显著的结论。作此结论错误的概率为5%或1%；当临界值小于1.96或2.58时，可以作出平均数不显著的结论。

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? 如果t分布，则按t的临界值解释。 （3）表查t值，按t分布进行解释。 二、平均数差异显著性检验 1． 检验原理 （1） 概念：是检验两组样本所代表的格子总体之间差异是否显著，即μ1≠μ2 （2） 据平均数之差的样本分布原理进行推论。如果两总体位正态或接近正态，其样本平均数之差为正态分布或t分布，计算标准误，临界值，并按不同的分布律推断，进行假设检验。 2． 两总体正态，方差已知，其样本平均数之差的分布为正态分布 （1） 独立样本的标准误

（2） 相关样本的标准误

（3） 临界值的计算

（4） 按正态分布进行解释

3． 两总体正态，方差未知，但相等，其样本平均数之差的分布为t分布 （1） 独立样本的标准误

（2） 相关样本的标准误

（3） 临界值的计算

（4） 选择t值表进行解释

4． 两总体正态，方差未知，不等，但n1+n2＞30，其样本平均数之差的分布接近正态 （1） 标准误的计算同正态分布

（2） 临界值的计算为t’ （3） 选择t值表进行解释 三、非参数方法 1． 独立样本

（1）秩和检验法：将两个样本数据混合起来统一排序。

（2）中数检验法：将两个样本统一排序，去中数。分别计算两样本位与中数以上和中数以下的数据个数。列2

2

×2表格。用x检验，确定两样本是否存在显著差异。 2． 相关样本 （1）符号检验法 （2）符号秩次法

第三节 方差及方差差异显著性检验

1． 方差显著性检验：即样本方差与总体方差的差异显著性检验

2

（1）样本方差的抽样分布为x分布 （2）公式

（3）解释：如果临界值大于 ，结论为方差显著；否则则不显著。 2． 方差差异显著性检验：两样本方查之比服从F分布 （1）独立样本 ? 公式 ? 查F值表。 ? 确定并选择显著性水平，若F值大于 ，结论为方差差异显著，作此结论的错误概率小于α/2；否则不显著。

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