数学选修2-3第一章计数原理习题集(附答案解析)

11.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .

解析:满足要求的点的取法可分为三类:

第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2

种取法;

种取法;

种取法.

第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4因此,满足题意的不同取法共有4答案:56

+2

+4

=56种.

12.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数. 解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:

第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.

第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.

第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有

=1个信息.

由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11. 13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?

(1)有3名内科医生和2名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生; (3)至少有1名主任参加; (4)既有主任,又有外科医生.

解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为

=120.

(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为

若从反面考虑,则选派方法的种数为(3)分两类: 一是选1名主任有二是选2名主任有

种方法; 种方法,

=196.

=196.

=246.

=246.

故至少有1名主任参加的选派方法的种数为

若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为(4)若选外科主任,则其余可任选,有

种选法.

若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有

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种选法.

故有选派方法的种数为

=191.

1.3 二项式定理

1.3.1 二项式定理

一、课时过关1.A.·2 C.·25 解析:·22. 答案:D 2.A.1 解析:Tk+1=

的展开式中的常数项为-220,则a的值为

B.-1 ·ak.

-k=0,

C.2

( ) D.-2

能力提升 ·

的展开式中倒数第3项的系数是( )

B.·26 D.·22

(2x)2·的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·

·22·x-8.该项的系数为

∵Tk+1为常数项,∴∴k=3.∴答案:B

·a3=-220,∴a=-1.

3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( ) A.3

B.6

C.9

D.21

33

23+·22·(x-2)+·2·(x-2)2+(x-2)3. 解析:由已知x=[2+(x-2)]=·

所以a2=答案:B 4.A.-10

x5-k解析:Tk+1=·答案:D 5.若(1+A.45

)5=a+b

·2=6.

3

的展开式中含x项的二项式系数为( )

B.10 C.-5 D.5

=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1.故x3项的二项式系数为=5.

(a,b为有理数),则a+b等于 B.55

)5=1+

C.70 ·(

)2+·(

( ) D.80 )3+·(

)4+·(

)5

解析:由二项式定理,得(1+

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=1+5+20+20+20+4=41+29,

即a=41,b=29,故a+b=70. 答案:C 6.(1-A.-4

解析:方法一:(1-)6(1+

)4的展开式中x的系数是( )

B.-3

)6的展开式的通项为

C.3 (-)m,(1+

D.4

)4的展开式的通项为)6(1+

)n,其中

m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令·(-1)0·方法二:(1-于是(1-答案:B 7.若x>0,设

·(-1)1·

)6(1+)6(1+

=1,得m+n=2,于是(1-·(-1)2·=-3.

)4=[(1-)(1+

)4的展开式中x的系数等于

)]4(1-·1+

)2=(1-x)4(1-2·(-1)1·1=-3.

+x).

)4的展开式中x的系数为

的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .

解析:由T3=x,

T4=,

则M+N=当且仅当答案:

≥2,即x=

. 时,等号成立.

8.二项式答案:

的展开式中,常数项的值为 .

9.已知(ax+1)n=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点Ai(i,ai)(i=0,1,2,…,n)的部分图象如图,则a= .

n-kn-kn-k解析:由展开式得Tk+1=(ax)=a·x,

由题图可知a1=3,a2=4,即a答案:

10.求证:32n+3-24n+37能被64整除. 证明:3+

2n+3

=3,且a2

=4,化简得na=3,且=4,解得a=.

-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(

)+24

-24n+40=64×3(

·8n-1+

·8n+1+·8n-2+…+

·8n+…+

)+64.

·8+1)-24n+37=3×64(

·8n-1

·8n-2+…+

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显然上式是64的倍数,故原式可被64整除. 11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数; (2)已知

展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理

由;如果有,请求出来. 解:(1)(1+x)的通项为Tr+1=

2

·xr,

xk,

(1-x)5的通项为Tk+1=(-1)k·其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5}, 令k+r=3,

则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0. 故x的系数为-(2)展开式的通项为Tk+1==

·2k·

20+

3

=5.

(x

)n-k·

(k=0,1,2,…,n),

2+

22=129.

由题意,得

2

所以1+2n+2n(n-1)=129,则n=64,即n=8.

故Tk+1=

·2k·

(k=0,1,2,…,8),

=0,

若展开式存在常数项,则解之,得k=

?Z,

所以展开式中没有常数项. 若展开式中存在一次项,则即72-11k=6,所以k=6.

所以展开式中存在一次项,它是第7项, T7=

26x=1 792x.

=1,

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

一、课时过关1.如果A. C.

能力提升 ·

的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )

B. D.

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