数学选修2-3第一章计数原理习题集(附答案解析)

解析:第一步先排5个独唱节目共3个插空共有答案:C

种,故一共有

种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选

种.

7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( ) A.48种

B.192种

C.240种

D.288种

种排法,而女生可互换位置,所以共有

种排

解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有

法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为答案:B

=192.

种,这时男生甲若

8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 A.120个

B.80个

C.40个

( ) D.20个

解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:

第一类,十位数字取9,有第二类,十位数字取6,有第三类,十位数字取5,有第四类,十位数字取4,有所以一共有答案:C

9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 . 解析:分三步完成:

第1步,将两位爸爸排在两端,有

种排法;

种排法;

个; 个; 个; 个. =40个.

第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有第3步,两个小孩之间还有因此,这6人的入园排法共有答案:24种

种排法.

=24种.

10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .

解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有乙有

种分法,分配丙、丁有

种分法.因此,总共有

种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有

=14种分法.

种分法,再分

答案:14种

11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个? (1)偶数不相邻;

(2)偶数一定在奇数位上;

(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数. 解:(1)用插空法,共有

=1 440个.

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(2)先把偶数排在奇数位上有共有

=576个.

种排法,再排奇数有种排法.

(3)1和2排列有其余4个数进行排列有

种方法,在1和2之间放一个奇数有种排法,故共有

=720个.

种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和

12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?

解:∵原有n个车站,∴原有客运车票

种.

又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票由题设知:

=62,

∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62, ∴2mn+m2-m=62, ∴n=(m-1)>0, ∴(m-1),

∴62>m(m-1),即m2-m-62<0. 又∵m>1,∴1

,

∴1

当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.

∴n=15,m=2.

∴原有车站15个,现有车站17个.

种.

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1.2.2 组合

一、课时过关

能力提升 ·

1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( ) A.45种 C.90种

B.56种 D.120种

=45.

解析:用排除法,不同的选法种数为答案:A

2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 A.210 C.70

B.126 D.35

( )

解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种. 答案:C

3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( ) A.28种 C.180种

B.84种 D.360种

解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法. 答案:A

4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( ) A.2 C.4

B.3 D.5

解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.

依题意得

=16,

即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4. 解得x=4,故女生有2人. 答案:A

5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( ) A.C.

B.D.

解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为

.

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答案:D

6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 A.9 C.12

B.10 D.14

( )

2

解析:y'=ax+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的

斜率的可能取值可分为五类完成.

第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有

组.

组.

组.

第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有故共有答案:D

=14组相互平行的切线.

组.

组.

7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 A.120 C.60

( ) B.72 D.36

=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,

解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共则其他4个球放入另外三个盒中,有答案:C

=36种放法.故总的放法有24+36=60种.

8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)

解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有答案:140种

9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答) 解析:分两种情况:

第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有

第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有个. 答案:324个

10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜.(结果用数值表示)

解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是

则有答案:7

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=140种.

=90个.

=234个,共有90+234=324

=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种,

≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.