漓江学院近世代数试卷(B)

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（2010 —2011学年第一学期）

课程名称：近世代数 课程序号： 开课院系：理学系 任课教师：陈迪三 年级、专业：08数学 考试时间：120分钟

考核方式：闭卷 ■ 开卷 □ 试卷类型：A卷 □ B卷■ C卷 □ 题号 一 二 三 四 五 总分 统分人签字 满分 得分 得 分 一、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） （正确的打“√”，错的打“×”）。

1．任何集合与它的一个真子集之间都不存在一一映射。 （ ） 2．群G的两个子群的交与并仍是G的子群。 （ ） 3．有理数全体Q对于在数的乘法下构成群。 （ ） 4．循环群的同态像仍然是循环群。 （ ） 5．如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构 （ ） 6．无零因子环的同态象无零因子。 （ ） 7．由素数p所生成的主理想(p)一定是最大理想。 （ ） 8．模47的剩余类环Z47无零因子。 （ ） 9．整环I中非零非单位的元一定有唯一分解 （ ） 10．在整环I中，单位元与单位等价。 （ ）

得 分 二、填空题（本大题共7小题，每空2分，共20分） （请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分）。

1. 如果~集合A的元间的一个等价关系，在这个等价关系~下，?a?,?b?是两个等价类，

?a???b?的充要条件是 A的元素a所在的等价类?a?? 。

2．规定R的运算?为a?b?2ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合律和交换律而言，

这个运算满足 。

3．n次对称群Sn的阶是 。

教研室主任 (签字)： 系主任(签字)：

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4．特征为p的交换环R中，(a?b)= 。

5．假定R是有单位元的交换环，I是R的一个理想，则RI是域的充要条件是： 。 6. 设I是有单位元环R的元a生成的主理想，则I中的元可表示为 。 7. 整环I?{a?b?3|其中a,b是整数}不是唯一分解整环，因为它的元素?? 在

pI中有两种本质不同的分解?? ? 。 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

得 分

得分 。 得分 2. 设Z6?{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是模6的剩余类环，且f(x),g(x)?Z6[x] 1.求模15的剩余类加群Z15的所有非平凡子群。

如果f(x)?[3]x3?[5]x?[2],g(x)?[4]x2?[5]x?[3]，求：f(x)?g(x)，f(x)g(x)。

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得 分 得分 得分 四、证明题（本大题共4小题，每小题11分，共44分） (注：答题写不完可写在试卷背面)

1．设G是群，x是G的固定元素，在G中定义运算?：(?a,b?G)a?b?axb 证明：(G,?)是群。

2. 设(Z,?)是通常的整数加群，在Z上定义一个新的运算?如下：对任意的

a,b?Z 规定：a?b?a?b?1。证明：

(1)(Z,?)是一个交换加群；

(2)设 ?:(Z,?)?(Z,?)，其中对任意的a?Z，?(a)?a?1,则?是同构映射。

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得分 。

3. 设R1,R2都是环，f是环R1到R2的同态满射，B是R2的理想，证明：

A?{a|a?R1,f(a)?B}是R1的理想。

得分

4.I是刚好包含所有复数a?bi(a,b是整数)的整环。证明5不是I的素元；5有没有唯一分解。

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