与轴对称相关的线段之和最短问题

作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 EB' = 30

所以：AB' = 50

总费用为：50×3 = 150万

2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值

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(二)角类

4．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.

解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2， 连结P1P2分别交OA、OB于C、D， 则C、D就是建加油站的位置. 若取异于C、D两点的点，

则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

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5．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2， 交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2， 则OP = OP1 = OP2 = 10 且∠P1OP2 = 90°

由勾股定理得P1P2 = 10

(三)三角形类 6．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

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即在AC上作一点P，使PB+PE最小

作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E的长就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3 根据勾股定理，B'E =

7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小

作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。

在直角△DBC'中

DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=

8．等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值 分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’， BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值 ∵∠BAC’ = ∠BAC，∠CAB’ = ∠CAB ∴∠B’AC’ = 60°

∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB ∴AC’ = AB’

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