平面向量高中人教版

?则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj

?∴λa=(λx, λy)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 已知三个力F1 (3, 4), F2(2, ?5), F3(x, y)的合力F1+F2+F3=0 求F3的坐标。

解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)

?3?2?x?0?x??5即：? ∴? ∴F3(?5,1)

4?5?y?0y?1??例五、已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

解：当平行四边形为ABCD时，

仿例三得：D1=(2, 2) 当平行四边形为ACDB时，

仿例三得：D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时，

仿上得：D3=(?6, 0)

八、向量平行的坐标表示

D3 B D1 A O x y C D2 ?? 1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b=λa，那

么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

????2．推导：设a=(x1, y1) b=(x2, y2) 其中b?a

??x??x2?由a=λb (x1, y1) =λ(x2, y2) ??1 消去λ：

?y1??y2x1y2-x2y1=0

???结论：a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

?注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵b?0

∴x2, y2中至少有一个不为0 2?充要条件不能写成

y1y2 ∵x1, x2有可能为0 ?x1x2???3?从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b?0)???例三 若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x

a??bx1y2?x2y1?0

??解：∵a=(-1,x)与b=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x?(-x)=0 ?? ∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2

例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量AB与CD平行吗？直线AB

与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD=(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB∥CD

又：AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB=(2, 4) 2×4-2×6?0 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 九、线段的定比分点

1．线段的定比分点及λ

P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，

使 P1P=λPP2 λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：

P1 P P2 P1 P2 P P P1 P2 λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ

<0 (-1<λ<0)

2．定比分点公式的获得： 设P1P=λPP2 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2） 由向量的坐标运算

P1P=(x-x1,y-y1) PP2=( x2-x1, y2-y1)

∵P1P=λPP2 (x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)

P1 P P2 ??x??x?x1??(x2?x) ∴? ???y?y1??(y2?y)?y??x1??x21??定比分点坐标公式 y1??y21??O x1?x2

2 3．中点公式：若P是P1P2中点时，λ=1 y?y2

y?1

2

4．注意几个问题：1? λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ?-1

x?

若P与P1重合，λ=0 P与P2重合 λ不存在

2? 中点公式是定比分点公式的特例

13? 始点终点很重要，如P分P的定比λ= 则P分P2PP121的定比λ=2 24? 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一

例四 过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标

解：当P内分P1P2时 λ=3 当P外分P1P2时λ=-3

O ? P1 ? P P2 ? ? P’ 当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)

例五 △ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ?BAC平分线交BC边于D,

求D点坐标

解：∵AD平分角?BAC

|AC|=2?6?210 |AB|=(?3)2?92?310

2∴D分向量CB所成比λ=

322B D C A 设D点坐标(x, y) 则 x?41) 53?22(?2)7?10?33?41 ?1 y?2251?1?33∴D点坐标为：(1,