平面向量高中人教版

求证：OA+OB+OC+OD=4OE 证：∵E是对角线AC和BD的交点 ∴AE=EC=?CE BE=ED=?DE

A D O E B C

在△OAE中 OA+AE=OE

同理：OB+BE=OE OC+CE=OE OD+DE=OE 以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE

例四、(P107 例五)如图，OA，OB不共线，AP=tAB (t?R)用OA,OB表示OP 解：∵AP=tAB

∴

P OP=OA+AP=OA+ tAB

O A B =OA+ t(OB?)OA

=OA+ tOB?tOA

=(1?t) OA+ tOB

????1．当λ?Z时，验证：λ(a+b)=λa+λb

????2．证：当λ=0时，左边=0?(a+b)=0 右边=0?a+0?b=0 分配律成立

当λ为正整数时，令λ=n, 则有： ????????n(a+b)=(a+b)+(a+b)+?+(a+b)

?????????=a+a+?+a+b+b+b+?+b=na+nb 即λ为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令λ=?n（n为正整数），有

???????????n(a+b)=n[?(a+b)]=n[(?a)+(?b)]=n(?a)+n(?b)=?na+(?nb)=?n

??a?nb

分配律仍成立

????综上所述，当λ为整数时，λ(a+b)=λa+λb恒成立 。

??2．如图，在△ABC中，AB=a, BC=b AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量AG

??11? 解一：∵AB=a, BC=b 则BD=BC=b

22A ?1?2∴AD=AB+BD=a+b而AG=AD

23a 2?1?∴AG=a+b

33b D CB

解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F

∵△AEF∽△ABC A 22? a AE=AB=a

33EFG22?EF=BC=b b D BC3311? EG=EF=b

232?1? ∴AG=AE+EG=a+b

33???? 3．在 ABCD中，设对角线AC=a，BD=b试用a, b表示AB，BC

1?11? 解一：AO=OC=a BO=BD=b

2221?1?D ∴AB=AO+OB=AO?BO=a?b

221?1? BC=BO+OC=OC+BO=a+b

22A CO B

解二：设AB=x，BC=y

?1??则AB+BC=AC x+y=a ∴ x=(a?b)

2? AD?AB=BD x?y=b

1??y=(a+b) 21??1?? 即：AB=(a?b) BC=(a+b)

22 4．设e1, e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,

CD=2e1?e2, 若三点A, B, D共线，求k的值。 解：BD=CD?CB=(2e1?e2)?(e1+3e2)=e1?4e2

∵A, B, D共线 ∴AB,BD共线 ∴存在λ使AB=λBD

?2??即2e1+ke2=λ(e1?4e2) ∴? ∴k=?8

k??4??5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB

????aa中点，设AD=, AB=b，试以, b为基底表示DC, BC, MN

11? 解：DC=AB=b

22连ND 则DC╩ND

N C D M ?1?BC=ND=AD?AN=a?b O 2 A 又

MB11?DM=DC=b

24

：

MN=DN?DM=CB?DM=?BC?DM

?1?1?1??=(?a+b)?b=b?a

2446．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳

与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的力？ 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?

|OP|=1 (kg) ?P1OP=60? ?P2OP=30? ∴|OP1|=|OP|cos60?=1?

1=0.5 (kg) 230? 60? P1 |OP2|=|OP|cos30?=1?

3=0.87 (kg) 2P2 P

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg 八、向量的坐标表示与坐标运算 一、平面向量的坐标表示

1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？

?取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

??记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标

? A 如：a=OA=(2, 2) i=(1, 0)

c y

b b=OB=(2, ?1) j=(0, 1)

x O B c=OC=(1, ?5) j=(0, 0)

C ?a?2．注意：1?每一平面向量的坐标表示是唯一的；

2?设A(x1, y1) B(x2, y2) 则AB=(x2?x1, y2?y1) 3?两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3．例一：(P109)略 三、平面向量的坐标运算

??????1．问题：1?已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，a?b的坐标

??2?已知a(x, y)和实数λ, 求λa的坐标

??2．解：a+b=(x1i+y1j)+( x2i+y2j)=(x1+ x2) i+ (y1+y2) j

??即：a+b=(x1+ x2, y1+y2) ??同理：a?b=(x1? x2, y1?y2)

3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的 坐标。

用减法法则：

∵AB=OB?OA=( x2, y2) ? (x1, y1)

? 4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x, y) 实数λ

O

A(x1,y1)

y B(x2,y2)

x = (x2? x1, y2? y1)