北师大选修2-2课本习题

内部资料·谢绝外传 选修2-2基础练习 教师：张凡

第一章 推理与证明

第一节 归纳与类比 1.1 归纳推理

例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

例2、如果面积是一定的，什么样子的平面图形周长最小，试猜测结论。

1.2 类比推理

例3、已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形

可以对应正三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？

例4、根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。

1

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练习

1、杨辉三角的前5行是

111114362341111

请试写出第8行，并归纳、猜想出一般规律。从上面的等式中，你能才想出什么结论？ 2、用面积法证明例3中已知的结论，并类比地用体积法证明猜想。

习题 1—1

1、从下面的等式中，你能猜想出什么？

37?3?111，37?6?222，39?9?333，37?12?444。

2、已知13?23?32?(1?2)2，13?23?33?62?(1?2?3)2，13?23?33?43?102?(1?2?3?4)2，

试写出1?2?3???n的表达式。

3、右图中给出了3层的六边形，图中所有点的个数为S3为28.按其规律再画下去，可以得到n层六边形，

试写出Sn的表达式。

4、阅读以下求1?2?3?4???n的值的过程，

因为?n?1??n2?2n?1，

23333n2??n?1??2?n?1??1，

2??

22?12?2?1?1，

以上各式相加得 (n?1)2?1?2?1?2???n??n，

n2?2n?nn?n?1??所以1?2?3???n?

22类比以上过程，求1?2?3???n的值。

5、利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示。

2222 2

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第二节 综合法与分析法

2.1 综合法

例1、求证：?是函数f?x??sin(2x?

22例2、（韦达定理）已知x1和x2是一元二次方程ax?bx?c?0（a?0，b?4ac?0）的两根。求

?4)的一个周期。

证：x1?x2??

bc，x1x2?。 aa例3、已知：x,y,z为互不相等的实数，且x?

111?y??z?。求证：x2y2z2?1。 yzx练习

设a,b是实数，求证：a?b?

2.2 分析法

例4、已知：a,b是不相等的正数。求证：a?b?ab?ab。

例5、求证：8?7?5?10。

例6、求证：函数f?x??2x2?12x?16在区间?3,???上是增加的。

练习1

1、求证：a?a?1?。 a?2?a?3（其中a?3）

3322222(a?b)。 22、证明：表面积相等的球和正方体，球的体积大于正方体的体积。

3

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例7、如图，已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点。

求证：HG?EF。

例8、已知：a,b,c都是正实数，且ab?bc?ca?1。求证：a?b?c?

练习2

如图所示，已知四边形ABCD为正方形，E,F是CD边上的点，CE?B

H

C

F G

E A

3。

11CD，CF?CD。求证：24D

E

F

C

?DAE?

1?BAF。 2A B

4