第三单元 经济分析中常见函数

经济数学微积分 第一章 函数

一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R= q p(q)

其中p(q)是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数

R?R(q)q

现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R=pq ，它的图形就是下面这样

O q 图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．

定义1.12——利润函数

利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量q的函数，收入也是q的函数，那么利润也是q的函数．即L(q)=R(q)?C(q)

L?L(q)q

相应地有平均利润函数的概念：

（1）L(q)>0盈利，（2）L(q)<0亏损，（3）L(q)=0盈亏平衡 满足L(q)=0的q0称为盈亏平衡点（又称保本点）．

在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析： C=c0+c１q

R=pq它们的图形是

O q

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经济数学微积分 第一章 函数

两条直线的交点表示收入与成本相等，q0就是盈亏平衡点． 如果两条直线出现了下面这种情况

O q

此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.

O q

O q

从几何上看，增加直线R的斜率或减小直线C的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．

三、例题讲解

例1 生产某商品的总成本是C(q)?500?2q，求生产50件商品时的总成本和平均成本．

解：成本C(q)?500?2q，平均成本

C(q)?C(q)500?2q500???2qqq

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经济数学微积分 第一章 函数

C(50)?500?2?50?600，

C(50)?500?2?1250

例2 某商品的成本函数与收入函数分别为C?21?5q，R?8q，求该商品的盈亏平衡点．

解：C(q)?21?5q，R(q)?8q，C(q)?R(q)

21?5q?8q，即q?7

四、课堂练习

练习1 已知生产某种产品的总成本为C(q)＝50＋2q＋0.1q2，该产品的需求函数为q＝40－2p，试求产量q为10时的总利润和平均利润．

qq?40?2p解出p?20?，再由公式R(q)?qp(q)2由需求函数得 qq2R(q)?q(20?)?20q?22 练习2 某企业生产一种产品的固定成本c0为20万元，变动成本为C1＝2q（万元），其中q为该产品的产量（单位：百件），该产品每件的售价为300元．试求该产品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况．

由于产量q的单位是百件，每件的售价为300元，因此R(q)＝3q，成本C(q)为固定成本和变动成本之和，故C(q)＝20＋2q，由此得到

L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－(20＋2q)＝q－20

五、课后作业

1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为100元，产量为100时成本为400元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为200时的总成本和平均成本．

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经济数学微积分 第一章 函数

2．设某商品的需求函数为q?1000?5p，试求该商品的收入函数R(q)，并求销量为200件时的总收入．

3．设某商品的成本函数和收入函数分别为C?21?5q，R?8q，试求： （1）该商品的利润函数；（2）销量为4时的总利润及平均利润；（3）销量为10时是盈利还是亏损？

1．（1）C(q)?3q?100,C(0)?100，（2）C(200)?700,C(200)?72 q2R(q)?200q?,R(200)?3200052． 3．（1）L(q)?3q?21， （2）L(4)??9，L(4)??94 （3）L(10)?9，销量为10时盈利.

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