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知识决定命运 百度提升自我
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冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程) 第四部分
(2009年湖南省益阳市)20.阅读材料：
如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂
直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面B 积的新方法：S?ABCAh 铅垂高
C 1?ah，即三角形面积等于水平宽2水平宽 a 图12-1
与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：
如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB； (3)是否存在一点P，使S△PAB=说明理由.
20．解：(1)设抛物线的解析式为：y1
29S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请8y
C B
D 1 O
1
A
x
····················································· 1分 ?a(x?1)?4 ·
图12-2
把A（3,0）代入解析式求得a??1
所以y1························································ 3分 ??(x?1)2?4??x2?2x?3 ·
设直线AB的解析式为：y2由y1?kx?b
··········································· 4分 ??x2?2x?3求得B点的坐标为(0,3) ·
把A(3,0)，B(0,3)代入y2 解得：k所以y2?kx?b中
??1,b?3
??x?3 ···························································································· 6分
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(2)因为C点坐标为(１,4)
所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以CD＝4-2＝2 ···························································································· 8分
1S?CAB??3?2?3(平方单位) ································································· 10分
2(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h?··························· 12分 y1?y2?(?x2?2x?3)?(?x?3)??x2?3x ·
由S△PAB=得：
9S△CAB 819?3?(?x2?3x)??3 282化简得：4x解得，x?将x??12x?9?0
3 23代入y1??x2?2x?3中， 2315解得P点坐标为(,) ··············································································· 14分
24
（2009年陕西省）25．（本题满分12分） 问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使?APB?90°的一个点P，并说明理由． ．．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使?APB?60°的所有的点P，并说明理．．由． 问题解决
，AB?4，BC?3．工人师傅想用它裁出两块全（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD等的、面积最大的△APB和△CP?D钢板，且?APB??CP?D?60°．请你在图③中画出符合要求的点P和P?，并求出△APB的面积（结果保留根号）． D C D C D C
A B A B A B
③ ② ① （第25题图）
25．（本题满分12分） 解：（1）如图①，
连接AC、BD交于点P，则?APB?90°． ?点P为所求．······················································· （3分）
D 知识决定命运 百度提升自我 C P （2）如图②，画法如下： 1）以AB为边在正方形内作等边△ABP； 2）作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F．
A ① D E A O ②
E D G P B C F B APB上的圆周角均为60°， ?在⊙O中，弦AB所对的??上的所有点均为所求的点P． ·?EF·················· （7分）
（3）如图③，画法如下：
1）连接AC；
2）以AB为边作等边△ABE； 3）作等边△ABE的外接圆⊙O，交AC于点P； 4）在AC上截取AP??CP． 则点P、P?为所求． ············································· （9分） （评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B作BG⊥AC，交AC于点G． ?在Rt△ABC中，AB?4，BC?3．
P C O B P? A ③
（第25题答案图）
?AC?AB2?BC2?5． ?BG?AB?BC12?． ····························································································· （10分） AC5在Rt△ABG中，AB?4，
16?AG?AB2?BG2?．
5在Rt△BPG中，?BPA?60°，
?PG?BG12343． ???tan60°5351643． ?55?AP?AG?PG?11?1643?1296?243?S△APB?AP?BG????． ································· （12分） ???5?22?5525??
（福建2009年宁德市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2?2?5的
顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、
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N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
C1 y M A O P B x C1 y C1 A y M N A B H B Q O x G O E F x P C2 C3 P 图(1) 图2 图（2）C2 C3 C4 图1 图（1） 26．（本题满分13分） 2解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得
顶点P的为（-2，-5） ………2分 ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5
5
解得，a＝ ………4分
9
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5） ………6分
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为y??（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5） ………9分 y 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G C1 作PK⊥NG于K N ∵旋转中心Q在x轴上
H B Q ∴EF＝AB＝2BH＝6 G A ∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） E O F x H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
K 根据勾股定理得 P C4 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 图(2) 222
NF＝5+3＝34 ………10分
4419
①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
33102
②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
33
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
192
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
33
的三角形是直角三角形． ………13分
5?x?4?2?5 ………8分 9
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