2019年沪科版八年级上册数学《第15章轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（解析版）

（2）若∠APO＝∠BPO， ①求此时P点的坐标；

②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．

（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．

②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．

【解答】解：（1）∵两点之间线段最短

∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1） 设直线AB的解析式为：y＝kx+b ∵A（2，2），B（4，﹣3） ∴

解得：

∴直线AB：y＝﹣x+7 当﹣x+7＝0时，得：x＝∴P点坐标为（

，0）

（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2） 根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO ∵∠APO＝∠BPO ∴∠A'PO＝∠BPO

∴P、A'、B在同一直线上（如图2） 设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'

解得：

∴直线A'B：y＝﹣x﹣1 当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2 ∴点P坐标为（﹣2，0）

②存在满足条件的点Q

法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）

∴PC＝4，BD＝2 ∴S△PAB＝S△PAA'+S△BAA'＝

设BQ与直线AA'（即直线x＝2）的交点为E（如图4）

∵S△QAB＝S△PAB 则S△QAB＝∴AE＝6

∴E的坐标为（2，8）或（2，﹣4） 设直线BQ解析式为：y＝ax+q

或

＝2AE＝12

解得： 或

∴直线BQ：y＝或y＝

∴Q点坐标为（0，19）或（0，﹣5）

法二：∵S△QAB＝S△PAB

∴△QAB与△PAB以AB为底时，高相等 即点Q到直线AB的距离＝点P到直线AB的距离 i）若点Q在直线AB下方，则PQ∥AB 设直线PQ：y＝

x+c，把点P（﹣2，0）代入

解得c＝﹣5，y＝﹣x﹣5 即Q（0，﹣5）

ii）若点Q在直线AB上方，

∵直线y＝﹣x﹣5向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+7

∴把直线AB：y＝﹣x+7再向上平移12个单位得直线AB：y＝﹣x+19 ∴Q（0，19）

综上所述，y轴上存在点Q使得△QAB的面积等于△PAB的面积，Q的坐标为（0，﹣5）或（0，19）

【点评】本题考查了两点之间线段最短，轴对称性质，求直线解析式，求三角形面积，平行线之间距离处处相等．解题关键是根据题意画图描点，直角坐标系里三角形面积的求法（

）是较典型题，两三角形面积相等且等底时，高相等即第三个

顶点在平行于底的直线上．