2019年沪科版八年级上册数学《第15章轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷(解析版)

∴∠POD＝∠OPC，

∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°， ∴PE＝PC＝4，

∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD＝PE＝4， 故答案为：4．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．

12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为 100° ．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝BA，得到∠E＝∠A＝50°，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵BD垂直平分AE， ∴BE＝BA， ∴∠E＝∠A＝50°， ∴∠EBC＝∠E+∠A＝100°， 故答案为：100°．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝ 15° ．

【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， 又∵∠ADE＝40°， ∴∠ABD＝∠A＝50°， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝65°， ∴∠DBC＝15°． 故答案为：15°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．

14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝

【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图所示：

或2 时，满足条件的点C恰有三个．

分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，

此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为∴S＝×2×

＝

（2）如图所示：

分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，

点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个， △ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形

∴S＝×2×2＝2 故答案为：

或2．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．

15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 3 步．

【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了．

【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则： ①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内； ②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内． 所以跳行的最少步数为3步．

【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．

16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是

．

【分析】连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB＝BM＝BQ、△PBQ等腰三角形，进而即可得出PD＝PQ长的取值范围．

【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝45°， ∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，

连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．

PB，再根据BM的取值范围即可得出线段