工程光学 郁道银版 习题解答（一题不落）第十二章 - 光的衍射

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第十二章 光的衍射

1． 波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会

聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。 解：（1）零强度点有asin??n?(n??1,?2,?3....................) ∴中央亮纹的角半宽度为??0??a

50?10?2?500?10?9??0.01m ∴亮纹半宽度r0?f???0?f?3a0.025?10?（2）第一亮纹，有????asin?1?4.493 ?4.493?4.493?500?10?9??0.0286rad ??1??a3.14?0.025?10?3?2 ?r1?f??1?50?10?0.0286?0.0143m?14.3mm

同理r2?24.6mm

??sin????asin? （3）衍射光强I?I0?，其中????? 当asin??n?时为暗纹，tg???为亮纹 ∴对应 级数 ? I2I0

0 0 1

1 4.493 0.04718 2 7.725 0.01694 . . . . . . . . .

2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为

?a??sin[(sin??sini)]???I?I0??是? 式中，I0是中央亮纹中心强度；a是缝宽；?a?(sin??sini)????衍射角，i是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为???2?acosi

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i θ 证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦l?sin?变为?sin??sini?即可

?a??? ?sin??sin i?图12-50 习题3图 ?? ∴对于中央亮斑 sin??sini?

(2)令

a

3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？

解：设直径为a，则有

?af?d

632.8?10?9?0.03a???0.0126mm ?3d1.5?10?f4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b?a时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）2圆环衍射图样第一个暗环的角半径。

a b

解：已知半径为a的圆孔的衍射场振幅为 ?2J?ka???Ea?p???a2c'?1? ?ka??同样，圆屏使 图12-51 P 点振幅减小 习题6图

?2J1?kb??? Eb?p???bc'??

kb???2因此圆环在P点产生的振幅为

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?a2J1?ka??b2J1?kb???? E?Ea?Eb?2?c'??

kb??ka??∴P点强度为

?2b2J1?kb???222aJ1?ka?? I?E?4?c'??? kb??ka??对于衍射场中心，??0有

24b2?b4a2b2?22?a22?a222I0?4?c'??4?c'???ca?b ???? ????22442????22当b?a时， 2222?2a4?b2?922?a???c?a???ca4 （1）I?0??4?c'?4?16?28?? ∴

I?0?9? Ia?0?16a2J1?ka??b2J1?kb??（2）第一暗纹有??0

ka?kb? aJ1?ka???查表可有ka??3.144

1?a?aJ1?k?? 2?2????3.144???3.144??0.51 ka2?aa

4． （1）一束直径为2mm的氦氖激光（??632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月

球相距3.76?10km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？ 解：（1）圆孔衍射角半宽度为?? ∴传到月球上时光斑直径为

30.61? a0.61?0.61?632.8?10?98D?2??l?2??l?2??3.76?10?290.3km ?3a1?10（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径

0.61?0.61?632.8?10?9?l?2??3.76?108?145.2m D'?2?'l?2?a'2工程光 郁道银 学习题解答

5． 若望远镜能分辨角距离为3?10rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为

了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？ 解：D??70.61??20.61?550?10?9?2??2.24m

3?10?7人眼分辨率为1'?2.9?10rad

?42.9?10?4∴放大率M?3?10?7900

6． 若要使照相机感光胶片能分辨2?m的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当

时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？（光波波长为550nm）

1?500线/毫米 ?32?10DN?0.34 （2）?1.22??Nd14907． 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长??400nm时的最小分辨距离是

解： （1）胶片分辨率为N?多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为1）。

'0.61?0.61?400?10?9??0.29?10?6m 解：（1）??nsinu0.85（2）提高?'?1.45?1.7 0.85（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为

?e?250mm???250?2.9?10?4?7.25?10?2mm ∴放大率至少为

?e7.25?10?2mm??425 M??3?'0.29?10mm?1.7

8． 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长??632.8nm，透镜焦距f?50cm，观

察到两相邻亮条纹之间的距离e?1.5mm，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。 解：（1）双缝衍射亮纹条件为dsin??m?,m?0,?1,?2.............. 取微分有 dcos???????m