2018年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科）

，即 ， 则

取 ，则 ，

同理可得平面 的法向量为 ， 又

，

∴ 二面角 的余弦值为 ．

【考点】

平面与平面垂直

二面角的平面角及求法 【解析】

Ⅰ 通过勾股定理可得 ，利用面面垂直的判定定理即得结论；

Ⅱ 通过题意以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面 的一个法向量与平面 的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可． 【解答】

Ⅰ 证明：∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， 又 ，∴ ，

∴ ，即 ， ∵ 底面 ，∴ ，

又∵ ，∴ 平面 ，∴ 平面 平面 ； Ⅱ 由 可知 为 与平面 所成的角， ∴ ，∴ ， ，

由 及 ，可得 ， ，

以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立坐标系， 则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ，即 ， 则

取 ，则 ，

试卷第13页，总20页

同理可得平面 的法向量为 ， 又

，

∴ 二面角 的余弦值为 ．

20. 已知椭圆 的右焦点 ，点 在椭圆 上．

Ⅰ 求椭圆 的标准方程；

Ⅱ 直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，过原点 作直线 的垂线，垂足为 ，如果 的面积为

（ 为实数），求 的值．

【答案】

Ⅰ 由题意知： ，左焦点 ．

根据椭圆的定义得： ，

解得 ，∴ ， ∴ 椭圆 的标准方程为： ；

Ⅱ 由题意知， 整理得： ．

①当直线 的斜率不存在时， 的方程为： ， 此时 ， ， ∴ ；

②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ， 设 ， ，

，

联立

，消去 整理得： ，

显然 ，则 ，

∵ ， ， ∴

，

试卷第14页，总20页

，

∴ 此时，

，

；

综上所述， 为定值 ． 【考点】

直线与椭圆结合的最值问题 【解析】

Ⅰ 通过右焦点 可知： ，左焦点 ，利用 可得 ，进而可得结论； Ⅱ 通过

，可得 ，对直线 的斜率存在与否进行讨论．当直

线 的斜率不存在时，易得 ；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程并与椭圆 方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得 ． 【解答】

Ⅰ 由题意知： ，左焦点 ．

根据椭圆的定义得： ，

解得 ，∴ ， ∴ 椭圆 的标准方程为： ；

Ⅱ 由题意知， 整理得： ．

①当直线 的斜率不存在时， 的方程为： ， 此时 ， ， ∴ ；

②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ， 设 ， ，

，消去 整理得： ， 联立

显然 ，则 ，

∵ ， ， ∴ ， ∴

，

，

， ；

试卷第15页，总20页

此时， 综上所述， 为定值 ．

21. 设函数 ．

Ⅰ 已知函数在定义域内为增函数，求 的取值范围； Ⅱ 设 ，对于任意 ，总存在 ，使

成立，求实数 的取值范围．

【答案】

Ⅰ ∵ 函数 ∴ ………… ′ ∵ 函数在定义域内为增函数， ∴ 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，………… ′

而 ， ，当且仅当 时，“ ”成立

即 的最小值为 ， ∴ ………… ′ Ⅱ ∵ ∴

………… ′

∵ ， ∴

，

∴ ′ ，故 在 上单调递增

∴ 当 时， 取最大值

，………… ′ 在 上恒成立．

令 ，则 ，且 在 内恒成立，

当 时， ， 在 上单调递减 ，不合题意

得： 当 时，由 ′即 时， 在 ②

①

，

内单调递减，存在 不合题意，

，即 时， 在 内单调递增， 满足题意．

综上，实数 的取值范围为 ………… 【考点】

利用导数研究函数的单调性 【解析】

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