高考数学复习 第八章 立体几何与空间向量 第1讲 高效演练分层突破

11

对于B，如图2，S△AEF＝EF·h1＝×1×22

32?36

(32)－?＝，点C到平面AEF

4?2?

2

21366

的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA-CEF＝VC-AEF＝××d＝d为定

344值，所以B错误；

13

对于C，如图3，S△BEF＝×1×3＝，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的

22131

距离d为定值，所以VA-BEF＝××d＝d为定值，C正确；

322

119

对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA-CDF＝VF-ACD＝××3×3×3＝为定值，D

322正确．

7

5．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为

845°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．

解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.

112152

△SAB的面积为·SA·SB·sin∠ASB＝·SA·1－cos2∠ASB＝·SA＝515，

2216

所以SA2＝80，SA＝45.因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝45×π＝402π.

答案：402π

6．(2020·东北师大附中、重庆一中等校联合模拟)若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，

21＝210.所以底面周长l＝2π·AS′＝410π，所以圆锥的侧面积为×45×41022

当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为________．

解析：设圆柱的底面圆半径为r，高为h， 则球的半径R＝

h?r2＋??2?.

2

4π

因为球的体积V＝R3，故V最小当且仅当R最小．

3圆柱的侧面积为2πrh＝4π，所以rh＝2. h1所以＝，

2r所以R＝

1

r2＋2≥2，

r

1

当且仅当r2＝2.

r

即r＝1时取等号，此时k取最小值，所以r＝1，h＝2，圆柱的表面积为2π＋4π＝6π. 答案：6π

7．(应用型)(2020·安徽六安一中模拟(四))我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，短半轴长为1，长半轴长为3的椭球体的体积是________．

12

解析：因为S圆＝S环总成立，所以半椭球体的体积为πb2a－πb2a＝πb2a，

33

4

所以椭球体的体积V＝πb2a.

3

因为椭球体的短半轴长为1，长半轴长为3. 44

所以椭球体的体积V＝πb2a＝π×12×3＝4π.

33答案：4π

8．(应用型)我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛(chú ráo )：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体(如图)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为______，体积为______．

解析：由题意知该五面体的表面积S＝S×2×

1

22－12＋2××(2＋4)×

2

矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2×

12

22－12＝8＋83.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，

取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，连接OQ.因为△ADE和△BCF1

都是边长为2的等边三角形，所以OP＝(AB－EF)＝1，PF＝

2所以OF＝1

22－12＝3，OQ＝BC＝1，

2

PF2－OP2＝2，采用分割的方法，分别过点F，E作与平面ABCD垂直的平面，

这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN-FQH，两个全等的四棱锥：1

E-AMND，F-QBCH，所以这个几何体的体积V＝VEMN-FQH＋2VF-QBCH＝S△QFH×MQ＋2×S

3

矩形QBCH×FO＝

11102×2×2×2＋2××1×2×2＝. 233