《备战2020年高考》专题03导数及其应用-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（文）（解析版）

令 ， 则

，

所以 在 上单调递减.

由于 ， ，所以存在 满足 ，即 .

当 时， ， ；当 时， ， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 ， 因为

，所以 ，

所以 ， 所以 .

【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

30．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知函数 有两个极值点 ， .

（1）求 的取值范围； （2）求证： . 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】（1）因为 ，

所以 ， 令 ，则 ， 当 时，不成立； 当 时，令g?x??2x?x， aex， xe1?x所以g??x??x，

e当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 又因为g?1??1， e当 时， ，当 时， ，

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因此，当0?21?时， 有2个极值点， ae即 的取值范围为 .

x??2e1?ax1（2）由（1）不妨设 ，且?，

x2??2e?ax2

所以 ，所以 ，

要证明 ，

只要证明 ，

即证明2ln??x2?x2x1???， x?1?x1x2设

x2?t(t?1)， x1

即要证明 在 上恒成立， 记h?t??2lnt?t?(t?1)，

1th??t??21?t?2t?1?1?2??2ttt2??t?1?t22?0，

所以 在区间 上单调递减，

所以 ，即 ，即 .

【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.

31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数 e ，其中 ．

（1）当 为偶函数时，求函数 的极值；

（2）若函数 在区间 上有两个零点，求 的取值范围． 【答案】（1）极小值 ，极大值 ；（2） e 【解析】（1）由函数 是偶函数，得 ， 即 e e 对于任意实数 都成立， 所以 . 此时 ，

e

或 e .

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则 .

由 ，解得 . 当x变化时， 与 的变化情况如下表所示：

0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 所以 有极小值 ，极大值 . （2）由 e ，得

e

. e

所以“ 在区间 上有两个零点”等价于“直线 与曲线 个公共点”.

对函数 求导，得

e

， 有且只有两

.

由 ，解得 ， .

当x变化时， 与 的变化情况如下表所示：

0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 又因为 e ， e， 所以当 e 即当 e

e e

e

，

e

e

，

或 e 时，直线 与曲线

， 有且只有两个公共点.

或 e 时，函数 在区间 上有两个零点.

【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

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（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.

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