《备战2020年高考》专题03导数及其应用-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（文）（解析版）

且H??x??lnx?1，

当x?1时，H??x??0,H?x?单调递增， 注意到H?e??e，

故x0lnx0?e存在唯一的实数根x0?e， 此时y0?1， 故点A的坐标为?e,1?.

【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

8．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）a????,0.

【解析】（1）设g(x)?f?(x)，则g(x)?cosx?xsinx?1,g?(x)?xcosx.

?当x?(0,)时，g?(x)?0；当x??调递减. 又g(0)?0,g?π2π?π??π?,π?时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,)单调递增，在?,π?单

2?2??2??π???0,g(π)??2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点. ?2?所以f?(x)在(0,π)存在唯一零点.

（2）由题设知f(π)…aπ,f(π)?0，可得a≤0.

由（1）知，f?(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x??0,x0?时，f?(x)?0；当x??x0,π?时，

f?(x)?0，所以f(x)在?0,x0?单调递增，在?x0,π?单调递减.

又f(0)?0,f(π)?0，所以，当x?[0,π]时，f(x)…0.

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又当a?0,x?[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax. 因此，a的取值范围是(??,0].

【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.

9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1．证明：

（1）f(x)存在唯一的极值点；

（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）f(x)的定义域为（0，+?）.

x?11?lnx?1?lnx?. xx1因为y?lnx单调递增，y?单调递减，所以f?(x)单调递增，又f?(1)??1?0，

x1ln4?1f?(2)?ln2???0，故存在唯一x0?(1,2)，使得f??x0??0.

22f?(x)?又当x?x0时，f?(x)?0，f(x)单调递减；当x?x0时，f?(x)?0，f(x)单调递增. 因此，f(x)存在唯一的极值点.

（2）由（1）知f?x0??f(1)??2，又fe2?e2?3?0，所以f(x)?0在?x0,???内存在唯一根

??x??.

由??x0?1得又f?1??1?x0.

f(?)1?1??1?11??1ln??1??0，故是f(x)?0在?0,x0?的唯一根. ?????????????综上，f(x)?0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.

10．【2019年高考天津文数】设函数f(x)?lnx?a(x?1)ex，其中a?R.

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（1）若a≤0，讨论f(x)的单调性； （2）若0?a?1， e（i）证明f(x)恰有两个零点；

（ii）设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，且x1?x0，证明3x0?x1?2. 【答案】（1）f(x)在(0,??)内单调递增.；（2）（i）见解析；（ii）见解析. 【解析】（1）解：由已知，f(x)的定义域为(0,??)，且

11?ax2exxx. f?(x)???ae?a(x?1)e????xx因此当a≤0时，1?ax2ex?0，从而f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)内单调递增.

11?ax2ex.令g(x)?1?ax2ex，由0?a?， （2）证明：（i）由（Ⅰ）知f?(x)?ex可知g(x)在(0,??)内单调递减，又g(1)?1?ae?0，且

?1??1?1?1?g?ln??1?a?ln??1??ln??0. ?a??a?a?a?nl故g(x)?0在(0,??)内有唯一解，从而f?(x)?0在(0,??)内有唯一解，不妨设为x0，则1?x0?当x??0,x0?时，f?(x)?221.ag(x)g?x0???0，所以f(x)在?0,x0?内单调递增；当x??x0,???时，xxf?(x)?g(x)g?x0???0，所以f(x)在?x0,???内单调递减，因此x0是f(x)的唯一极值点.

xx1?1?0，故h(x)在(1,??)内单调递减，从而当x?1x令h(x)?lnx?x?1，则当x?1时，h'(x)?时，h(x)?h(1)?0，所以lnx?x?1.从而

1111?1??1?lna?1?f?ln??lnln?a?ln?1?e?lnln?ln?1?h?ln??0，

aaa?a??a??a?又因为f?x0??f(1)?0，所以f(x)在(x0,??)内有唯一零点.又f(x)在?0,x0?内有唯一零点1，从而，f(x)在(0,??)内恰有两个零点.

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2x2?x1?1x1?x0x0lnx1?f??x0??0,??ax0e0?1,x1?x0lnx?ee?.因为（ii）由题意，?即?从而，即12x1xfx?0,lnx?ax?1e,x1?1?1?0????1??1当x?1时，lnx?x?1，又x1?x0?1，故e于是

x1?x02x0?x1?1??x2x?x2?两边取对数，得lne10?lnx0，0，

x1?1x1?x0?2lnx0?2?x0?1?，

整理得3x0?x1?2.

【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力. 11．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f(x)?2x3?ax2?2．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当0

令f?(x)?0，得x=0或x?若a>0，则当x?(??,0)a． 3?a??a??,??x?时，；当f(x)?0???0,?时，f?(x)?0．故f(x)在

?3??3??a??a?(??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减；

?3??3?若a=0，f(x)在(??,??)单调递增；

若a<0，则当x????,??a??a??(0,??)x?时，；当f(x)?0??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在

3??3?a???a???,,(0,??)单调递增，在???,0?单调递减．

3???3?（2）当0?a?3时，由（1）知，f(x)在?0,??a??a?单调递减，在??,1?单调递增，所以f(x)在[0,1]3??3? 8