第二讲 因数，倍数，质数，合数 - 图文

【例 5】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依不同的次序排列，可以得到362880个

不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为 。

【巩固】把1，2，3，4，5，6这六个数依不同的次序排列，可以得到720个不同的六位数，则所有这些

六位数的最大公约数为 。

【例 6】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，?，3599，开始时头都朝东。第1秒钟，编号为1的倍

数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，?，如此进行。那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？

【巩固】200名同学编为1至200号面向南站成一排。第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西）；

第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；?；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名。

〖答案〗

【例 1】 10

【巩固】 16

【例 2】 101 【巩固】 53 【例 3】 10 【巩固】 16

【例 4】 20或14 【巩固】 10或6 【例 5】 9 【巩固】 3

【例 6】头朝东 【巩固】 8

板块三 质数、合数与两大约数定理

1．质数、合数

⑴除了2其余的质数都是奇数；

⑵除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9； ⑶如何判断一个数是否是质数？

⑷常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、

61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。

2．数字拆分—分解质因式

相关名词：质因数、互质数、分解质因数

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

210错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。3错误！未找到引用源。5错误！未找到引用源。7 可知这三个数是5、6和7。

分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。 3．约数个数定理

唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积

例如：12错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。3错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。3

约数个数定理：

约数个数：(2错误！未找到引用源。1)错误！未找到引用源。(1错误！未找到引用源。1)错误！

未找到引用源。6

所有约数的和：(2错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。2)错误！未找到引用源。(3

错误！未找到引用源。3)

【例 1】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？

【巩固1】(2004年希望杯第二届五年级一试第8题，5分)a，b，c，d都是质数，并且a错误！未找到引用

1

0

1

2

0

2

源。b错误！未找到引用源。33，b错误！未找到引用源。c错误！未找到引用源。44，c错误！未找到引用源。d错误！未找到引用源。66，那么cd错误！未找到引用源。 。

【巩固2】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。已知它们的和是偶数，那么d是多少？

【例 2】(2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此

时这个最大的质数是 ，如要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为 。

【巩固】(2010年迎春杯六年级初试试题)用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，

那么这些合数之和的最小值是 。

【例 3】下图为一个长方体，它的正面和上面的面积之和为209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这

个长方体的体积是多少？

例3图

【巩固】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的

表面积是多少平方厘米？

【例 4】数160的约数个数是多少？它们的积呢？

【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到

最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？

【例 5】求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数。

【巩固】求恰有12个约数的最小的自然数。

〖答案〗

【例 1】74

【巩固1】689

【巩固2】7

【例 2】23，181

【巩固】99

【例 3】374

【巩固】6934平方厘米

6

【例 4】12个，160

【巩固】16种

【例 5】48和80

【巩固】60