数学分析13函数列与函数项级数总练习题

第十三章 函数列与函数项级数

总练习题

1、试问k为何值时，下列函数列{fn}一致收敛；

?k ?xn，?k-nx?2?k(1)fn(x)=xne, 0≤x<+∞；(2)fn(x)=???-x?n，??n??0， ??1n12?x?. nn2?x?1n0?x?解：(1)当x=0时，fn(x)=xnke-nx=0，∴使{fn}在[0, +∞)上一致收敛， 必有f(x) =limfn(x)=0. 又f’n(x)=nke-nx(1-xn)，fn(x)在x=处有最大值，

n??∞1n∴sup|fn(x)-f(x)|=sup|xnke-nx|=nk-1e-1，

x?[0 ,??)x?[0 ,??)仅当k<1时，nk-1e-1→0 (n→∞). ∴当k<1时，{fn}在[0, +∞)上一致收敛. (2)使函数列{fn}在[0, 1]一致收敛，必有f(x) =limfn(x)=0.

n??∞又fn(x)在x=处有最大值，∴sup|fn(x)-f(x)|=sup|xnk|=nk-1，

x?[0 ,1]x?[0 ,1]1n仅当k<1时，nk-1→0 (n→∞). ∴当k<1时， {fn}在[0,1]上一致收敛.

2、证明：(1)若fn(x)?f(x) (n→∞), x∈I，且f在I上有界，则{fn}至多除有限项外在I上是一致有界的；

(2)若fn(x)?f(x) (n→∞), x∈I，且对每个正整数n，fn在I上有界，则{fn}在I上一致有界.

证：(1)∵f在I上有界，∴可设|f(x)|≤M；∵fn(x)?f(x) (n→∞), x∈I， ∴?ε>0, ?正整数N，当n>N时，对一切x∈I，都有|fn(x)-f(x)|< ε, 又ε>|fn(x)-f(x)|≥|fn(x)|-|f(x)|≥|fn(x)|-M, ∴|fn(x)|

(2)∵fn(x)→f(x) (n→∞), x∈I，∴对?ε>0, ?正整数N，当n>N+1>N时， 对一切x∈I，都有|fn(x)-fN+1(x)|<ε, ∴当n>N+1时，?x∈I，有 |fn(x)|<|fN+1(x)|+ε. 又对每个正整数n，fn在I上有界，

可设|fn(x)|≤Mn (n=1,2,…,N+1，x∈I). 记M=max{M1,M2,…,MN+1}，则 对一切的自然数n，都有|fn(x)|

3、设f为[,1]上的连续函数，证明：

121(2){xnf(x)}在[,1]上一致收敛的充要条件是f(1)=0.

21??0，n ?x?1证：(1)limxf(x)=? ，得证！ 2n????f(x)，x?1 1(2)[必要性]若{xnf(x)}在[,1]上一致收敛，则limxnf(x)=0，

n??212(1){xnf(x)}在[,1]上收敛；

又当x=1时，limxnf(x)=f(x)=0，∴f(1)=0.

n??[充分性]若f(1)=0. 则limxnf(x)=0=g(x).

n??又f在[,1]上连续，∴f在[,1]上有界，可设|f(x)|≤M,x∈[,1). ∴当x=1时，xnf(x)=0；当x∈[,1)时，|xnf(x)|≤Mxn→0 (n→∞). ∴sup|fn(x)-g(x)|=sup|xnf(x)|→0 (n→∞)，

1x?[ ,1]21x?[ ,1]212121212∴{xnf(x)}在[,1]上一致收敛.

4、证明：若函数列{fn}在[a,b]上一致收敛，且每一项在[a,b]上都可积，则{fn}在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积.

证：对[a,b]任作一分割T，f(x)在△i上的振幅为ωi=sup|f(x’)-f(x)”|.

x?,x?????i12∵fn(x)?f(x) (n→∞), x∈[a,b]，∴?ε>0, ?N，使得 |fN(x’)-f(x’)|<

εε, |fN(x”)-f(x”)|< (x’,x”∈[a,b]). 3(b?a)3(b?a)又fN(x)在[a,b]上可积，∴对上述的ε>0, ?δ>0，只要T<δ，就有

ε?ω?x<, 其中ω’i=sup|fN(x’)-fN(x)”|. 于是，当x’,x”∈△i时， ?ii3x?,x?????ii?1n|f(x’)-f(x)”|≤|fN(x’)-f(x’)|+|fN(x”)-f(x”)|+|fN(x’)-fN(x)”|<

n2ε+ω’i. 3(b?a)nn?2ε?2εε2ε??x?ω?x从而?ωi?xi≤??=<+=ε， ?ω??x??iiii?i3(b?a)i?133i?1i?1i?1?3(b?a)?n∴f(x)在[a,b]上也可积.

5、设级数?an收敛，证明：lim证：∵

an?nx=?an. x?0?1111?≤1 (x∈[0,+ ∞))，且，∴{}单调一致有界； (n?1)xnxnxnx又?an收敛，从而?an在[0,+ ∞)上一致收敛，由阿贝尔判别法知，

anan在[0,+ ∞)上一致收敛. 又(n=1,2,…)在[0,+ ∞)上连续， ?nxnx由连续性知：lim

ananlim=?nx?x?0?nx=?an. x?0?6、设可微函数列{fn}在[a,b]上收敛，{f’n}在[a,b]上一致有界，证明： {fn}在[a,b]上一致收敛.

证：设|f’n(x)|≤M, (n=1,2,…，x∈[a,b]). ?ε>0, 在[a,b]上取m-1个点： x1,x2,…,xm-1满足a=x0

m(有限)个小区间△i=[xi-1,xi]且△xi=xi-xi-1<

ε(i=1,2,…,m). 4M∵{fn}在[a,b]上收敛，∴对△i上全意一点xi, ?Ni>0，当n>Ni时， 对任意自然数p，有|fn(xi)-fn+p(xi)|<. 对函数fn(x)-fn+p(x)应用微分中值定理：?x△i, 有 |[fn(x)-fn+p(x)]-[fn(xi)-fn+p(xi)]|=|f’n(ξ)-f’n+p(ξ)||x-xi|<2M·εε=.于是 4M2ε2ε2ε2|fn(x)-fn+p(x)|≤|[fn(x)-fn+p(x)]-[fn(xi)-fn+p(xi)]|+|fn(xi)-fn+p(xi)|<+=ε. 取N=max{N1,…Nm}，当n>N时，对一切x∈[a,b]，都有 |fn(x)-fn+p(x)|<ε，∴{fn}在[a,b]上一致收敛.

7、设连续函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f，而g在R上连续. 证明：{g(fn(x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x)).

证：∵函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f，且函数列{fn}在[a,b]上连续， 根据连续性，知f在[a,b]上连续，从而{fn}在[a,b]上一致有界，记 |fn(x)|≤M，则|f(x)|≤M，又g在R上连续. ∴g在[-M,M]上一致连续. ?ε>0, ?δ>0, 对一切的x∈[a,b], 有fn(x),f(x)∈[-M,M]，

又由|fn(x)-f(x)|< δ, ∴对一切的n, 有|g(fn(x))-g(f(x))|<ε. 得证！