空间中的平行与垂直专题复习

又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC. 所以MN⊥BD.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD， 又MN?平面ABCD， 所以DD1⊥MN， 而DD1∩DB＝D， DD1，DB?平面B1BDD1， 所以MN⊥平面B1BDD1， 又MN?平面C1MN，

所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.

10．(·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论； (3)证明：直线DF⊥平面BEG. (1)解 点F，G，H的位置如图所示．

(2)解 平面BEG∥平面ACH， 证明如下：

因为ABCD—EFGH为正方体， 所以BC∥FG，BC＝FG， 又FG∥EH，FG＝EH，

所以BC∥EH，BC＝EH， 于是BCHE为平行四边形． 所以BE∥CH，

又CH?平面ACH，BE?平面ACH， 所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH， 又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH. (3)证明 连接FH，BD. 因为ABCD—EFGH为正方体， 所以DH⊥平面EFGH.

因为EG?平面EFGH，所以DH⊥EG.

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD. 又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG， 同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G， 所以DF⊥平面BEG.

B组 能力提高

11．设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c 答案 B

解析 B中命题的逆命题为：当b?α时，若α⊥β，则b⊥β，是假命题．而A、C、D中命题的逆命题均为真命题，故选B.

12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案 a或2a

解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得

ACAF2ax＝，即＝， A1FA1D3a－xa

整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a.

13．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：

①AB与DE所成角的正切值是2； ②AB∥CE； 1

③VB—ACE是a3；

6④平面ABC⊥平面ADC.

其中正确的是________．(填写你认为正确的序号) 答案 ①③④

解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：

∵AB＝3a，BE＝a，∴AE＝2a.

∴AD＝AE2－DE2＝a，∴AC＝CD2＋AD2＝2a. AB2＋BC2－AC2

在△ABC中，cos∠ABC＝

2AB·BC3a2＋a2－2a23

＝＝. 2323a

∴sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝sin∠ABC∴tan∠ABC＝＝2.

cos∠ABC

∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确． 连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE， ∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD?平面ABD， AD?平面ABD，

∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD， ∴CE⊥AB.故②错误． 三棱锥B—ACE的体积

111a32V＝S△BCE·AD＝××a×a＝，故③正确．

3326∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE， ∴BC⊥AD，又BC⊥CD，AD∩CD＝D， ∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ACD.故答案为①③④.

14.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．

6

. 3

(1)求证：BC⊥平面ACEF；

(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论． (1)证明 ∵在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，

∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°， ∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面ACEF. (2)解 当FM＝

3

a时，AM∥平面BDE. 3

证明如下：

设AC∩BD＝N，连接EN，如图． ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝a， ∴AC＝3a，AB＝2a，∴CN∶NA＝1∶2， ∵四边形ACEF是平行四边形，∴EF＝AC＝3a.

∵AM∥平面BDE，AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝NE， ∴AM∥NE，∴四边形ANEM为平行四边形， ∴FM∶ME＝1∶2， 113a∴FM＝FE＝AC＝. 333∴当FM＝

3

a时，AM∥平面BDE. 3