天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考数学(文)试题

//平面

由 ABCE 为平行四边形可得

为

即

//

，

侧面

底面

，

，

.

（Ⅲ）取

中点，连

，

平面

，

，

，

侧面

底面

平面

的平面角，

又

，

，

所以二面角

的余弦值为．

18．（1） ；（2）．

又 因为

，则：

中各项均为正数，所以． 故

，解得，进而． 的前项和为

或

（2）设 设数列和为

， 当为偶数时，

，数列的前项

，

当为奇数时，

， ①， 则

②，

而

由①-②得：

，因此

， 综上：

，

19．

解（I）∵ AC ? BC ? 0, ∴ AC ? BC, ?ACB ? 90??

又 OC ? OB ? 2 BC ? BA , 即 BC ? 2 AC ，∴△AOC 是等腰直角三角形 ……………2 分 1 14∵ A(2, 0), ∴ C (1,1) 而点 C 在椭圆上，∴ 2 ? 2 ? 1, a ? 2, ∴ b2 ? ab 3 x 2 3 y2

? 1∴所求椭圆方程为 ? 4 4

…………………4 分

（II）对亍椭圆上两点 P 、Q，∵∠PCQ 的平分线总是垂直亍 x 轴

∴PC 不 CQ 所在直线关亍 x ? 1 对称，设 kPC ? k (k ? 0 且 k ? ?1) ，则 kCQ ? ?k ，………6 分

则 PC 的直线 方程 y ? 1 ? k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) ? 1 ① QC 的直线方 y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) ? 1

②

x 2 3 y2

? 1 得 (1 ? 3k 2 )x2 ? 6k (k ? 1)x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0 ③ 将①代入 ?

4 4

3k 2 ? 6k ? 1 ∵ C (1,1) 在椭圆上，∴ x ? 1 是方程③的一个根，∴ xp ?1 ?? ……………8 分 ? xp

2

1 ? 3k 3k ? 6k ? 1

.? 以 ?k 替换 k ，得到 x Q

3k 2 ? 1

6k 2 ? 2 ?4k

k ? ? 2k y p ? yQk ( xp ? xQ ) ? 2k1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? 1 kPQ ? ??? ? ??12k ??12k 3 x ? xQ x ? xQ

p p

1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

1 而 k AB ? , ∴ k ? k , ∴ PQ ∥AB，∴存在实数 ? ，使得 PQ ? ? AB ………………10 分 PQ AB

3

2

2 ?12k 2 ?4k 2 ?160k 2 2 30 160 2 ?? ?)? ( ) ? | PQ |?( x ?( )?? x ) ? ( yp ? y ?p q q2 2 2 2 13 1 ? 3k 1 ? 3k (1 ? 3k ) 9k 2 ?? 2? 6

k

当 9k 2 ??

1 2 1 ?3 时取等叵， 时即 k ? , k ? ?k 2 3 3