1992考研数二真题及解析

Born to win

(3)【答案】(D)

?【解析】对于函数在给定点x0的极限是否存在,需要判定左极限x?x0和右极限 ?是否存在且相等,若相等,则函数在点x0的极限是存在的. x?x01x2?1x1?1x?1lime?lim(x?1)e?0, x?1?x?1x?1?1x2?1x1lime?1?lim(x?1)ex?1??. ??x?1x?1x?10??,故当x?1时函数没有极限,也不是?.故应选(D).

(4)【答案】(C)

【解析】 F?(x)?[故选(C).

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若F(t)??(t)(t)?x20f(t2)dt]??f[(x2)2]?(x2)??2xf(x4),

??f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

(5)【答案】(B)

【解析】由f(x)的导函数是sinx,即f?(x)?sinx,得

f(x)??f?(x)dx??sinxdx??cosx?C, 其中C为任意常数.

所以f(x)的原函数

F(x)??f(x)dx??(?cosx?C)dx??sinx?C1x?C2,其中C1,C2为任意常数.

令C1?0,C2?1得F(x)?1?sinx.故选(B). 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【答案】e?32

x??【解析】此题考查重要极限：lim(1?)?e. 将函数式变形,有

?x?3x?1?1??3?xx236?36?x2lim()?lim(1?) x??6?xx??6?x?3x?1?6?x2lim?3x?1?21xx?limex???ex??6?x?e.

?32 Born to win

(2)【答案】2e

【解析】函数y?y(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得

2ey, y??e?xe?y??0,即 y??1?xeyyy把x?0,y?1代入可得y?(0)?e.

两边再次求导,得

eyy?(1?xey)?ey(ey?xeyy?), y???(1?xey)2d2y把x?0,y?1,y?(0)?e代入得y??(0)?dx2?2e2.

x?0方法2：方程两边对x求导,得y??ey?xeyy??0； 再次求导可得y???eyy??(eyy??xeyy?2?xeyy??)?0,

d2y把x?0,y?1代入上面两式,解得y?(0)?e,y??(0)?dx2?2e2.

x?0【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??, dxdxdudx2.两函数乘积的求导公式：

?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).

?u??u?v?uv?3.分式求导公式： ???. 2vv??(3)【答案】(1?x)?1?x?C 其中C为任意常数. 【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有

3222?1x21(1?x2)?12dx??d(1?x)??d(1?x2)

21?x221?x21?x2x3 Born to win

?112(1?x?)d(1?x2) ?21?x21112221?xd(1?x)?d(1?x) ??2221?x?3122?(1?x)?1?x2?C 其中C为任意常数. 3方法2：令x?tant,则dx?sectdt,

2?x31?x2dx??tan3tsectdt??tan2td(sect)??(sec2t?1)d(sect)

313122?sect?sect?C?(1?x)?1?x2?C,其中C为任意常数. 33方法3：令t?x,则x?t,dx?212t,

?x31?x2dx?1tdt 此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法 ?21?t311122??(1?t?)dt?(1?x)?1?x2?C,其中C为任意常数. 231?t(4)【答案】4(2?1) 【解析】注意f(x)2?f(x)?f(x),不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实

际上是分段函数的积分.

由二倍角公式 sin??2sin2??2?cos2??2,则有

????1?sin??sin?cos?2sin?cos??sin?cos?.

2222?22?所以

??2??01?sinxdx???0?xx?xx?sin?cosdx?sin?cosdx ???022?22?2??xx?xx????2?cos?sin?dx????sin?cos?dx 022?22??2?? Born to win

?xx?2xx????2?sin?cos??2??cos?sin?

22?022????2??4(2?1).

(5)【答案】y?C1x?x3,其中C为任意常数

5【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 y??由一阶线性微分方程的通解公式,得

11??2xdx?12??2xdxy?e?xedx?C???

?2?11y??x2. 2x21?Cx?x3 其中C为任意常数.

5【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?,其中C为任意常数. y?e?Q(x)e?????

四、(本题满分9分)

【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.

令x?2?t,则dx?dt.当x?1时,t??1；当x?3时,t?1,于是

?31f(x?2)dx??f(t)dt分段??1?t2?dt??e?tdt

?1?10171?1???t?t3??e?t??.

03e?3??10101

五、(本题满分9分)

【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程

r2?3r?2?0有两个根为r1?1,r2?2,而非齐次项xe?x,??1?r1为单特征根,因而非齐

次方程有如下形式的特解Y?x(ax?b)e, 代入方程可得a??,b??1,所求解为

x12xy?C1ex?C2e2x?(x?2)ex,其中C1,C2为任意常数.

2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程

*