药物中毒模型 doc

如何实施药物中毒

班级：数（2） 学号:0907022015 姓名: 王秀丽 摘要： 本文用建立数学模型的方法，通过对孩子和成人服用氨茶碱片且出

现重中毒、致命的最小剂量的研究，用线性微分方程、函数图象进行研究，分析在人中毒时的实施及时救助的方法，从而得出人在服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量及有效施救的时间范围。

关键词：半衰期 血液浓度 排除率 转移率

正文：

1 问题的提出及分析

两个小时前他们吃了若干氨茶碱，已经出现呕吐、头晕等不良状况。按照药品说明书，氨茶碱的每次使用量成人是100~200mg，儿童是3~5mg/kg。如果服用过量，可是血药浓度过高，当血药浓度达到100?g/ml时，会出现严重中毒，达到200?g/ml，则可以致命。人体服用一定药物后，血药浓度与人体的血液总量有关。一般来说，血液总量约为体重的7%到8%，即体重50~60kg的成年人有4000ml的血液。目前，这个孩子的体重约为成年人的一半，可以认为其血液约为2000ml。由此，血液系统中的血药浓度与药量之间可以相互转换，血液系统对药物的吸收和排除率可以由半衰期决确定。从说明书上可以看出，氨茶碱吸收的半衰期约为5h，排除的半衰期为6h。

2 合理假设与变量说明

为了判断孩子和成人血药浓度会不会达到危险水平，需要寻求胃肠道和血液系统中的药量随时间的变化规律，记孩子胃肠道中的药量为

1x(t),,血液系统中的

2药量为y(t)，成人胃肠道中的药量为x2(t),血液系统中的药量为y(t)。时间t以孩子和成人服药的时刻开始为起点，根据前面的调查分析，可以做出如下假设：

2.1胃肠道中的药物向血液系统中的转移率与药量x(t)成正比，比例系数为

?(?>0)；总剂量1100mg的药物在t=0瞬间进入肠道。

2.2 血液系统中的药物的排除率与药量y(t)成正比，比例系数为?（?>0）；t=0时血液中无药物，

2.3 氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h；

2.4 孩子的血液总量为2000ml，成人的血液总量为4000ml； 2.5 孩子服用n1片氨茶碱，成人服n2片氨茶碱；

3 模型建立

根据假设对胃肠道中药量x(t)和血液系统的药量y(t)建立如下模型： 由假设1，

，

，随着药物进入血液

系统，x(t)下降的速度与x(t)本身成正比，（比例系数?>0），所以x(t)满足微分方程：

dx1dt???x1，

dx2dt2???x2

由假设2，y(0)?1y(0)?0，药物从肠道向血液系统的转移相当于血液y(t)、y(t)由于吸收作用而增长的速度为?x、

12系统对药物的吸收，

1?x2，由于排除而减少的速度与

?>0）,所以满足微分方程：

dydt1y(t)、y(t)本身成正比（比例系数为

121??x1?uy ，

12dydt2??x2?uy

2且：y(0)?y(0)?0，?和?可由半衰期确定。

5 模型检验

根据假设4，孩子和成人的血液量分别为2000ml和4000ml，出现严重中毒的血药浓度为100?g/ml，导致致命的血药浓度为200?g/ml，即：孩子导致严重中毒的血药量为200mg、导致致命的血药量为400mg；成人导致严重中毒的血药量为400mg、导致致命的血药量为800mg。因为要求出孩子和成人达到严重中毒和致命的最小剂量，即要求出孩子和成人服用若干的氨茶碱后，血药量在一定时间达到严重中毒和致命的血药浓度。则记：

孩子严重中毒和致命的最小剂量分别为

n11、n12（单位为片）；成人严重

中毒和致命的最小剂量为

n

21

、

n22（单位为片）

血液中药量y(t)达到最大值的时间t，可以由x(t)和y(t)的微分方程精确算出

n因为

22?19.9

21

n11、

n n

12

、

n22为氨茶碱的片数，则取整数。

即：n11?5 n12?10 n21?10 n22?20

6 模型应用

根据模型计算的结果，药物的排除率可增加到原来的2倍，即0.2310.下面计算，采用这种施救方案血液中药量y(t)的变化情况。

设孩子到达医院时刻（t=2）就开始施救，前面已经算出y(2)=236.5，由此可建新的模型为（血液中药量记作z(t)） dz??t??x??z,t?2,x?1100e,z(2)?236.5 ……（1） dt仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为t=2，当?=0.1386（不变）而

?=0.2310时，（1）的解为 z(t)?1650e?0.1386t?1609.5e?0.2310t,t?2 ……（2）

由函数的性质可知，施救后血液中药量z(t)达到最大值的时间约在t=5h，即到达医院施救后3h，其精确值可有（2）算出，记作t3，t3=5.26h，且z(t3)=318.4mg，远低于y(t)的最大值和致命水平。还可看出虽然采用了口服活性炭来吸附药物的办法施救血液中药量z(t)仍有一段时间在上升，说明用这种药物的排除率增加还不够。不妨计算一下，如果要使z(t)在施救后（t?2）立即下降，排除率?至少应该多大。Z(t)在t=2取得最大值相当于t=2（1）式满足dz|t?2?(?x??z)|t?2?0 ……（3） dt若果采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到?=0.693，血液中药量下降更快。

参考文献

[1] 陈珽.决策分析[M].北京：科学出版社，1987:12-20.

[2] 姜启源.数学模型[D].2版.北京：高等教育出版社，1993:215. [3] 史树中.数学与经济[M].大连：大连理工大学出版社，2008:98.

[4] 姜启源.数学模型.2版.北京：高等教育出版社，1993：37.