大庆市十九中学 图形的相似

图形的相似

A级 基础题

1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( ) A．1,2,3,4 B．1,2,2,4 C．3,5,9,13 D．1,2,2,3 2．(2013年北京)如图6-4-14，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在

近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB＝( )

A. 60 m B. 40 m C. 30 m D. 20 m

图6-4-14 图6-4-15

3．(2013年上海)如图6-4-15，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC

上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB＝( )

A. 5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5

4．若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为( ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 5．(2013年江苏无锡)如图6-4-16，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交

于O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积之比等于( )

1111A. B. C. D. 24816

图6-4-16 图6-4-17

6．(2013年山东威海)如图6-4-17，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分

线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是( )

A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC

C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点

7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________________．

8．(2013年四川雅安)如图6-4-18, 在?ABCD，E在AB上，CE，DB交于F，若AE∶

BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝________.

图6-4-18 图6-4-19

9．(2013年江苏泰州)如图6-4-19，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为(－1,0)，则点B′的坐标为________．

10．(2012年湖南株洲)如图6-4-20，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对

折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.

(1)求证：△COM∽△CBA； (2)求线段OM的长度．

图6-4-20

B级 中等题

11．(2013年山东淄博)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图6-4-21，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC

的相似线最多有__________条．

图6-4-21

12．如图6-4-22，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，

BE的长度分别为3千米和2千米，且两条小路之间的距离为5千米．现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置？

图6-4-22

13．(2012年湖南株洲)如图6-4-23，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5米，AC＝12米．点

M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，∠AMN＝∠ANM；

(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

图6-4-23

C级 拔尖题

14．(2013年山东滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图6-4-24.

其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?

图形的相似

1．B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.②③ 14BEBFAE4BE3BE38. 解析：AB∥CD?△BEF∽△DCF?＝，又∵＝，∴＝，即＝，3CDDFBE3AB7CD73214则有＝，DF＝. 7DF35

，－4? 9.?3??

10．(1)证明：∵A与C关于直线MN对称， ∴AC⊥MN.∴∠COM＝90°. 在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠COM＝∠B. 又∵∠ACB＝∠MCO， ∴△COM∽△CBA.

(2)解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，∴OC＝5. ∵△COM∽△CBA， OCOM15∴＝，OM＝. CBAB411．3

12．解：如图55，作出点B关于江边的对称点C，连接AC，则BF＋FA＝CF＋FA＝CA. 根据两点之间线段最短，可知当供水站在点F处时，供水管路最短． ∵△ADF∽△CEF，

∴设EF＝x，则FD＝5－x， 根据相似三角形的性质，得 EFCEx2＝，即＝，解得x＝2. FDAD5－x3

故供水站应建在距E点2千米处．

图55

13．解：(1)由题意，得AM＝12－t，AN＝2t. ∵∠AMN＝∠ANM，

∴AM＝AN，从而12－t＝2t， 解得t＝4秒．

∴当t为4秒时，∠AMN＝∠ANM.

(2)如图56，过点N作NH⊥AC于点H， ∴∠NHA＝∠C＝90°.

∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA. ANNH2tNH10t∴＝，即＝，∴NH＝. ABBC13513

110t560

从而有S△AMN＝(12－t)·＝－t2＋t，

2131313

180

∴当t＝6时，S有最大值为. 13

图56 图57

14．解：如图57，过点C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于Q，P.

由题意，得四边形ABCM是平行四边形， ∴EN＝AM＝BC＝20 cm.

∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．

由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm. ∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD. NFCQNF32∴＝，即＝. MDCP3040解得NF＝24 cm.

∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)． 答：横梁EF应为44 cm.