人教A版精编高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二导学案

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1.2.1.任意角的三角函数(二)

学习目标.1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.

知识点一.三角函数的定义域

π

思考.正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?

2

π

答案.当x＝kπ＋，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为

2

yP0

无意义，因而x的正切值不存在.所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋

π

，k∈Z. 2

梳理.正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan

x的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.

知识点二.三角函数线

思考1.在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点

π2

A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定

义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？

答案. sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 思考2.三角函数线的方向是如何规定的？

答案. 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值. 思考3.三角函数线的长度和方向各表示什么？

答案. 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负. 梳理.

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图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线

过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线

类型一.三角函数线

5π

例1.作出－的正弦线、余弦线和正切线.

8解.如图所示，

?5π?sin?－?＝MP， ?8??5π?cos?－?＝OM， ?8??5π?tan?－?＝AT. ?8?

反思与感悟.(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作

x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.

(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，

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即可得到正切线AT.

1

跟踪训练1.在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合.

211?1?解.已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点?0，?，过这点22?2?作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集π5π

合为{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}.

66

类型二.利用三角函数线比较大小

2π4π2π4π2π4π

例2.利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.

353535解.如图，sin

2π2π2π4π4π

＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，33355

4π

tan＝AT′.

5

显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 2π4π∴sin>sin；

35

2π4π|OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos>cos；

352π4π

|AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan

反思与感悟.利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2.比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解.sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.

如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2.

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∵M1P1>M2P2，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°). 类型三.利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1.利用三角函数线解不等式?组?

例3.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥31；.(2)cos α≤－. 22

3

交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)2

解.(1)作直线y＝所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.

π2π

故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}.

33

1

(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所

2示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.

2π4π

故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}.

33

反思与感悟.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间.

13

跟踪训练3.已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.

22解.图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即

2ππ2

{θ|2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}.

3663命题角度2.利用三角函数线求三角函数的定义域 例4.求下列函数的定义域.

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