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18．（12分）（2017?平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视

力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；

1～50名 951～1000名 近视 不近视 41 9 32 18 （Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？

（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附K2=P（K2≥k） k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．

（Ⅱ）求出k2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．

6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，（Ⅲ）依题意，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．

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【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分） 所以视力在4.8以上的人数为人．… （Ⅱ）

，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）

6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，（Ⅲ）依题意，所以ξ可取0，1，2.ξ的分布列为

ξ P …（10分） ξ的数学期望

．…（12分）

0 ，， ，

1 2 【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．

19．CB⊥平面PAB，（12分）（2017?平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2． （Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC； （Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

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【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．

（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．

解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C﹣PD﹣B的余弦值即可．

【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，

连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分） 又∵△PAB为等边三角形， ∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F， ∴AF⊥平面BPC．… 又DE∥AF．

∴DE⊥平面BPC，又DE?平面DPC， ∴平面DPC⊥平面BPC．…

（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，

BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C

…﹣PD﹣B的平面角．（7分）

由题意知，DP=DC=∴在△PDE中，又

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，PC=，∴，∴，

．…（10分）

，

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∴，∴．…（12分）

（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），

，

，C（0，2，2），D（0，0，1）． ，

，

；

．…（8分）

，

设平面PDC和面PBC的法向量分别为由

，得

，令y=﹣1得

由，得，令a=1得．…（10分）

∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

20．（12分）（2017?平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D． （Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；

（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．

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