初中数学竞赛试题及答案大全

故b2?4ac?4，

当a??1，b=0，c=1时，等号成立.

所以，b2?4ac的最小值为4. ………………………（15分）

2005年全国初中数学竞赛试卷

一 题号 1~5 得分 6~10 11 12 13 14 二 三 总分 一、选择题(满分30分) 1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )

2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数

3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )

° ° ° ° 4.设A?48?(111??L)，则与A最接近的正整数是( ) 32?442?41002?4

15.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y?x2?x?的函数值中整数的个数是( )

2 二、填空题(满分30分)

6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。

37.在直角坐标系中，抛物线y?x2?mx?m2(m?0)与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的

4112距离分别为OA，OB，且满足??，则m=_____.

OBOA38.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑

克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________

9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交

C于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，

R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________ 10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…x12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B于_________。

三、解答题、(满分60分)

AQREPD+x19=59，的值等

B 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、

BPNQ?BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1) (2) MPBQ①△KPM∽△NQK

13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0 至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).

14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a,

2006年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90

2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，则a的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则为（ ） （A）23?1 （B）23 （C）3?2 （D）3?2

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

QC的值QAD O Q A P （第5题图）

C

B

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

a?c的值 bA D G B E F C （第7题图）

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

1??2?29???9．已知0

30??30?30??? ．(?x?表示不超过x的最大整数)

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个

七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x?

b

，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且a≤8，a

2?1?x?3?1．

试写出一个满足条件的x； 求所有满足条件的x．

12．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB． 14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求P n的最小值． 参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个

K

选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） E 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从B 10千米处开始，每隔

A 9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）

O （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C．

解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千

（第13题） 米处． 故选C．

2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，则a的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C．

解：由已知可得m2?2m?1，n2?2n?1．又

(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=－9

C 故选C．

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，

则（ ）