(真题)2019年衡阳市中考数学试卷(有答案)(Word版)

∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m， ∵PD∥MN，

当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=此时P点坐标为（，1）， ∵PN=∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形，

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形； （2）存在．

如图2，OB=4，OA=2，则AB=

=2

，

=

，

（舍去），m2=，

当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2）， ∴PB=

=

，

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，

把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，

当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a）， ∴PD=2﹣a﹣2=﹣a， ∵DC∥OB， ∴∠DPB=∠OBA， ∴当当

==

时，△PDB∽△BOA，即时，△PDB∽△BAO，即

==

，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4； ，解得a=﹣

，此时抛物线解析式为y=﹣

x2+3x+4．

x2+3x+4；

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣

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26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以

cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A

时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【解答】解：（1）如图1中，连接BP．

在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°， ∴AB=4

∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BP=BQ， ∵AQ=

t，CP=t，

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∴BQ=4∴（4

﹣﹣

t，PB2=42+t2， t）2=16+t2， 或12+8

（舍弃），

解得t=12﹣8∴t=12﹣8

s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．

（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．

则有PA=∴4﹣t=

AQ， ?

t，

解得t=．

②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．

则有：AQ=∴

t=

AP，

（4﹣t），

解得t=2，

综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．

（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．

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∵S=S△QNC+S△PCQ=?CN?QF+

?PC?QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．

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