(完整word版)2017年湖南省益阳市中考数学试卷(含答案解析版),推荐文档

（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？ 【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【专题】12 ：应用题；524：一元一次不等式(组)及应用． 【分析】（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；

（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果． 【解答】解：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，

??+??=20×80%

依题意得：{，

??=2??+1??=11

解得：{??=5，

答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元； （2）设今年土特产利润m万元，

依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10， 解之得，m≥7.4，

答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．

【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键． 20．（10分）（2017?益阳）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．

【考点】ME：切线的判定与性质． 【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线； （2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． ∵OA=OC，∠BCD=∠A， ∴∠ACO=∠A=∠BCD，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线．

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（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD=√????2+????2=5， ∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．

【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度． 21．（12分）（2017?益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？ （2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数

211y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．

??22

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它

????

们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由??=??可得??=??，于是得到结论；

（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；

112

（3）设点A（p，q），则??=???，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得

22

到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论． 【解答】解：（1）不一定，

设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）． ①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，

??????

②当ab≠0时，由??=??可得??=??，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数??=??（k≠0）的图象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）． 则有{????+??=??解得{??=?1，

??=??+??????+??=??

∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；

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2

（3）设点A（p，q），则??=???，

1111∵直线AB经过点P（，），由（2）得=?+??+??，

2222

∴p+q=1，

2

∴?????=1，

解并检验得：p=2或p=﹣1， ∴q=﹣1或q=2，

∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2）， 将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得， ∴{1???+??=2解得{??=?2，

4+2??+??=?1??=?1

∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 22．（14分）（2017?益阳）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．

（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM； （2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；

（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，设??(??1，????12)、B(??2，????22)，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得可得出结论．

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????????

=

????????

，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，

【解答】解：

1

（1）①由已知得2x2=x+1，解得??=?2或x=1， 11

当??=?2时，??=2，当x=1时，y=2，

11

∴A、B两点的坐标分别为（?2，），（ 1，2）；

2

②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，

11

由①及已知有A（?2，），B（ 1，2），且OM=ON=1，

2????1????11

∴??????∠??????=????=21=3，??????∠??????=????=1+2=3，

1+21

∴tan∠ANM=tan∠BNM， ∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，

①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形， ∴∠ANM=∠BNM；

②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设??(??1，????12)、B(??2，????22)． 如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，

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