概率论在实际生活中的应用

即在足够多次试验后,小概率事件A肯定要发生,并且这种可能性随着试验次数的增加越来越大。

通过以上分析,如果再考虑在历届奥运会射击比赛中所进行的射击总次数非常多,在高手如林的奥运会比赛中出现脱靶的小概率事件也就不足为奇了。 2.1.3 概率知识保证了奥运会篮球抽签的分组方式的公平性

奥运中很多项目采取抽签的方式进行分组,如篮球、足球等。因为各球队的实力不一样,对一个球队或个人而言,除了自己的实力以外,分组也十分重要。如北京奥运会男篮分组是通过抽签的方式将所有参加比赛的12支队伍分成A、B两组,每组6支球队进行单循环赛。中国男篮抽签进入的B组包含了2006年世锦赛的前三名:西班牙、希腊、美国队,以及第六名德国队,还有非洲冠军安哥拉队。面对这样的分组形势,篮管中心副主任胡加时称‘这是各种预料中结果最糟的,中国队这次抽到了下下签”,而媒体称之为“这个小组成了名副其实的死亡之组”。“历史上最齐整的中国男篮”虽然在比赛中打出了士气,但终因实力差距,并没有打破第八名的历史记录。那么这种抽签的分组方式是否能够保证公平?抽签顺序的调整对于结果是否有影响?

因为一组抽签中,抽中两个球队之中任何一个的概率是一样的,即把美国和阿根廷两者组成的组合放到任意一个次序,美国队和中国队分入同一组的概率都是0.5,即改变抽签顺序并不能保证中国肯定能避开美国队。

为便于说明,我们将问题简化一下,用取球的方式代表。假设某一个不透明袋子里面放有5个大小形状都相同的球,其中4个黑色,1个白色,试说明每次摸出白球的概率是一样的。我们用Ai表示“第i次摸出的球是白球”,其中i=1,2,3,4,5,

14则Ai表示“第i次摸出的球是黑球”。显然p?Ai??,pAi?即第一次抽到白

551球的概率是。若第二次摸出白球,第一次只能摸出黑球,即p?A2??pA1A2利

5????用乘法公式可得

411p?A2??pA1A2?PA1PA2|A1???

5451类似可得p?A3??p?A4??p?A5??

5??????即抽签不分先后,从而也可以说明无论怎么调换顺序,都不能保证中国队避开实

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力较强的美国队。因此,对于中国男篮而言,唯一的出路就是不断地提高自己的技战术,以增加自己的实力。

2.1.4 概率知识在奥运会上药检方面的应用

现代奥林匹克的精神就是“更高、更快、更强”,然而诸多因素导致了兴奋剂在各种赛场上的出现。为了保证竞赛的公平和公正,并维护运动员的身体健康,兴奋剂检测也成为各大赛事保证公平竞争的重要环节。目前,兴奋剂检测有尿样检查与血液检查两种方式,尿样仍是主要方式。作为判断运动员是否服用违禁药品的兴奋剂检测,其公平性尤为重要。加拿大短跑运动员本·约翰逊在被判服用兴奋剂并作出判罚决定以后,曾声称还有很多运动员服用兴奋剂,只是他们的运气比较好,没有检测出来,因此对他的处罚是不公平的。我们从概率论的角度来考察只进行了一次兴奋剂检测时的准确程度。

假设根据以往统计,在奥运会上服用兴奋剂的运动员占所有运用员总数的0.005。某种尿样检查,如果运动员确实服用了兴奋剂,则检测呈阳性的概率是0.99,而没有服用兴奋剂的运动员检测呈阳性的概率是0.01。现抽查了一个人,检测结果呈阳性, 则该运动员确实服用兴奋剂的概率是多少?

首先,令

A ={检测结果呈阳性},B ={被抽查的运动员服用了兴奋剂},则

P?B??0.005,PB?0.995,P?A|B??0.99,PA|B?0.01, 利用贝叶斯公式

????p?B|A??P?B?P?A|B?P?B?P?A|B??PBP?A|B???

可得p?B|A??0.3322

即使某运动员兴奋剂检测呈阳性,但他真正服用兴奋剂的可能性并不大。尽管如此,这种检测也是有意义的,因为不检测时,他用服兴奋剂的可能性只有0.005,但一旦检测呈阳性,他服用兴奋剂的可能性则上升到0.3322,增加了约66倍。

除提高兴奋剂检测技术外,兴奋剂检测一般需要准备两份样品,比如尿样检测。若第一份检测呈阳性,再由相关检测机构对第二份样品进行检测,若第二份结果仍然呈阳性,则该运动员就被判服用兴奋剂因为两次试验选取的样品是相同的

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条件下选取的两份样品,并且检测手段一样,则两次检测可以认为是相互独立的。因此可以从概率学中事件的独立性的角度来进行分析。

令Ci表示第i次检测结果呈阳性的运动员并没有服用兴奋剂,则可知检测结果呈阳性的运动员并没有服用兴奋剂的概率是

p?Ci??pB|A?1?P?B|A??0.6788

??两次检测都呈阳性却没服用兴奋剂的事件表示为

D?C1C2 则事件D的概率为

pD?1?p?D??1?P?C1?1?0.6678?0.5542??C2??1?P?C1?P?C2?

可见两次检测结果都呈阳性的运动员服用兴奋剂的概率0.554>0.3322,即经过第二次检测就可以进一步确认该运动员是否服用兴奋剂。因此对于第一次测结果呈阳性的运动员进行第二次检测是非常有必要的。但是也要注意到,虽然经过两次检测,但准确度却依然有待进一步提高,只是限于药检成本较高,不适合进行大量的反复实验。因此,为提高检测准确度,保障运动的竞争公平,还必须从科技上进行完善。

恩格斯曾指出在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律。同样,在充满着诸多变数的奥运体育盛会中,概率论也在或客观或主观地起到独特的作用,而了解这些背后所隐藏的概率知识对于我们更好的理解体育运动的魅力具有重要的作用,并且也可以通过更好地发挥概率所起到的作用。

2.2 概率论知识在经济生活中的应用

2.2.1 概率统计思想在防范金融风险中的应用

在现实经济生活中，经济的发展决定着一个国家的命脉。如何防范金融风险也成为各国经济学家研究的重点。

例1.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分(2)三

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种股票至少有一种股票获利的概率别为0.8、0.6、0.5，求(1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率；

解 设A、B、C 分别表示三种股票获利，依题意A、B、C 相互独立。P(A)=0.8,P(B)=0.6,P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式：

(1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率。 P1=P(AB+AC+BC)

=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)

=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C) =0.8×0.6+0.8×0.5+0.6×0.5-2×0.8×0.6×0.5=0.7 (2)三种股票至少有一种股票获利的概率。 P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC)-P(BC)+P (ABC)

=0.8+0.6+0.5-0.8×0.6-0.8×0.5-0.6×0.5+0.8×0.6×0.5 =0.96

计算结果表明：投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略。 2.2.2 小概率原理在工业生产中的应用

小概率事件原理是作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理。

例2．某厂每天的产品分3 批包装，规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂。假定产品符合出厂要求，若某日用上述方法抽查到了次品，问该日产品能否出厂?

解 把从3批产品中各抽1件看作3次独立试验，于是可把问题归结为贝努利概型。若产品符合要求，则次品率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99。

抽3件产品恰有0件次品的概率为：

0p3?0??C3?0.01?0?0.09?3?0.970299

若产品符合要求，从3批产品中各抽1件，至少抽到1件次品的概率小于

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