当前位置：首页 > 2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点四平面向量(理)
→1→→→→→
若AO＝AC，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最小值是________．
4
答案
7－1
解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意可得，
A(2,0)，B(0,0)，C(0，23)，O?，
3?→?1
即OA＝?，－?，
2??2→→
?3
?23?
?，D(cosθ，23＋sinθ)， 2?
OB＝?－，－
?3?2??
3??， 2?
OD＝?cosθ－，
333?
＋sinθ?，
22?
53?→→→?
则OA＋OB＋OD＝?cosθ－，sinθ＋?，
22??→→→
|OA＋OB＋OD|＝
3?2?cosθ－5?2＋?
???sinθ＋? 2???2?
＝ 8＋3sinθ－5cosθ＝ 8＋27sinθ＋φ，
→→→
当sin(θ＋φ)＝－1时，|OA＋OB＋OD|取到最小值8－27＝7－1. 三、解答题
13．(2019·安徽涡阳一中第二次质检)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条→
数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP＝xe1＋ye2，则把有序数对→→
(x，y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，假设OP＝3e1＋2e2.
- 9 -
→
(1)计算|OP|的大小；
→
(2)设向量a＝(m，－1)，若a与OP共线，求实数m的值；
→
(3)是否存在实数n，使得向量OP与b＝(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
1
解 (1)e1·e2＝1×1×cos60°＝，
2→
所以|OP|＝|3e1＋2e2|＝
2
3e1
2
2
＋12e1·e2＋2e2
2
＝9|e1|＋12e1·e2＋4|e2|＝19.
→→
(2)因为a＝(m，－1)＝me1－e2，又a与OP＝3e1＋2e2共线，所以存在实数λ使得a＝λOP，
??m＝3λ，即me1－e2＝λ(3e1＋2e2)＝3λe1＋2λe2，由平面向量基本定理得?
?－1＝2λ，?
3
解得m＝－.
2
→
(3)假设存在实数n，使得OP与向量b＝(1，n)垂直， →
则OP·b＝0，即
(3e1＋2e2)·(e1＋ne2)＝3e1＋(3n＋2)e1·e2＋2ne2＝3|e1|＋(3n＋2)e1·e2＋2n|e2|＝3188→
＋(3n＋2)×＋2n＝0，得n＝－，所以存在实数n＝－，使得向量OP与b＝(1，n)垂直．
277
14．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.
2
2
2
2
→→
(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求AE·BD； 3→→4→
(2)若AC＝AB，cos∠CAB＝，AC·BD＝，求|DC|.
55解 (1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC， 所以∠DAB＝120°，又AD＝2AB，所以AD＝2BC，
→1→→1→→→1?→→1→?3→1→
因为E是CD的中点，所以AE＝(AD＋AC)＝(AD＋AB＋BC)＝?AD＋AB＋AD?＝AD＋AB.
2?4222?2→→→
又BD＝AD－AB，所以
→→?3→1→?→→AE·BD＝?AD＋AB?·(AD－AB)
2??43→21→21→→
＝AD－AB－AD·AB 424
- 10 -
＝34×16－12×4－14×4×2×??1?－2???＝11. (2)因为AB＝AC，AB＝2，所以AC＝2， 因为→AC·→BD＝4→→45，所以AC·(AD－→
AB)＝5，
所以→AC·→AD－→AC·→AB＝4
5
.
又→AC·→AB＝|→AC||→
AB|cos∠CAB＝4×3125＝5，
所以→AC·→AD＝4→→165＋AC·AB＝5
.
所以|→DC|2＝|→AC－→AD|2＝→AC2＋→AD2－2→AC·→
AD＝4＋16－2×16685＝5.
所以|→DC|＝2855. - 11 -
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