2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点四平面向量(理)

(2)∵c＝a＋(t－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，

∴c·d＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka＋t(t－3)b＋[t－k(t－3)]a·b＝0. 又a＝|a|＝4，b＝|b|＝1，a·b＝0， ∴c·d＝－4k＋t－3t＝0，∴k＝f(t)＝

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t3－3t4

(t≠0)．

一、选择题

1．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使＋＝0成立的是( )

|a||b|A．a＝2b 1

C．a＝－b

3答案 C

解析 “＋＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，

|a||b|则答案为C.

→→→→→

2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( ) A．－3 C．2 答案 C

→→→→2

解析 ∵BC＝AC－AB＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC|＝1，∴1＋t－3→

∴t＝3，∴BC＝(1,0)，

→→

∴AB·BC＝2×1＋3×0＝2.故选C.

→→→

3．(2019·山东临沂、枣庄二模)已知O是正方形ABCD的中心．若DO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R，则＝( )

A．－2 C．－2 答案 A

1λ→→→→→→→1→→1→

解析 ∵DO＝DA＋AO＝CB＋AO＝AB－AC＋AC＝AB－AC，∴λ＝1，μ＝－，∴＝－2，

222μ故选A.

→→→→

4．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是

- 5 -

2

abB．a∥b D．a⊥b

abB．－2 D．3

＝1，

λμ1B．－

2D．2

( )

1A． 32C． 3答案 C

→→→→→→→→→→→→

解析 因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝PB－PA，所以PC＝－2PA＝2AP，即P是2S△PBCPC2

AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.

3S△ABCAC3

5．(2019·福建模拟)已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝3，|b|＝1，则向量b与a－b的夹角为( )

π

A．

3πC．

6答案 B

2πB．

35πD．

61B． 23D． 4

解析 因为|a＋b|＝|a－b|，所以a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b，即a·b＝0，所以a→→

⊥b.如图，设AB＝a，AD＝b，则向量b与a－b的夹角为∠BDE，因为tan∠BDA＝3，所以∠

2

2

2

2

BDA＝，∠BDE＝

π32π

.故选B. 3

→1→→→2→

6．如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为

411( )

9

A． 113C． 11答案 D

- 6 -

2B． 111D． 11

→1→→→

解析 ∵AN＝NC，∴AC＝5AN，

4→→2→→→10→∵AP＝mAB＋AC，∴AP＝mAB＋AN，

1111∵P是BN上的一点，∴B，P，N三点共线， 101

∴m＋＝1，∴m＝，故选D.

1111

→→7．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋→??→ABAC?＋λ?，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定经过△ABC的( ) →??|→

?AB||AC|?

A．外心 C．重心 答案 B

→?→→?→ABAC?ABAC→→→?＋解析 OP－OA＝AP＝λ，因为＋所在直线与∠A的角平分线重合，→??|→→→

|AB||AC|?AB||AC|?则点P的轨迹是∠A的角平分线，一定经过△ABC的内心，故选B.

→1→→

8．(2019·广东深圳适应性考试)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AP＝AB，AQ＝

31→→→

AD，若CP·CQ＝12，则∠ADC＝( ) 2

5πA．

62πC．

3答案 C

解析 如图所示，平行四边形ABCD中，

3πB．

4πD．

2B．内心 D．垂心

→→→→2→CP＝CB＋BP＝－AD－AB，

3→→→→1→CQ＝CD＋DQ＝－AB－AD，

2

→→→→?→2→??→1→?2→21→24→→2因为CP·CQ＝12，所以CP·CQ＝?－AD－AB?·?－AB－AD?＝AB＋AD＋AB·AD＝

3??2?3233?

- 7 -

1242

×3＋×2＋×3×2×cos∠BAD＝12，

23

1π则cos∠BAD＝，即∠BAD＝，

23π2π

所以∠ADC＝π－＝，故选C.

33二、填空题

→→→→→→

9．(2019·湖北四地七校联考)正三角形ABC的边长为1，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝________.

3

答案 －

2

→→→→→→→→→→

解析 ∵正三角形ABC的边长为1，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－(BA·BC＋CB·CA＋→→AC·AB)

3

＝－(1×1×cos60°×3)＝－. 2

→→→→

10．(2019·安徽A10联盟4月联考)在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝(2,4)，BD＝(－3，→→

－5)，则AC在AB上的投影为________．

答案

75

5

→→

解析 由AD＝BC得四边形ABCD是平行四边形， →→→

且AD＝AB＋BD＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)， →→→

则AC＝AB＋AD＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，

→→

AB·AC1475→→→→→

∴AC在AB上的投影为|AC|cos〈AB，AC〉＝＝＝.

→525|AB|

→→→

11．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________． 答案

π 6

→→→→→→→→→→→2

解析 因为(AB－3AC)⊥CB，所以(AB－3AC)·CB＝0，(AB－3AC)·(AB－AC)＝0，AB－→2→2→→|AB|＋3|AC||AB|3|AC|→→→2

4AC·AB＋3AC＝0，即cosA＝＝＋≥2→→→→4|AC||AB|4|AC|4|AB|

33→

＝，当且仅当|AB|＝162

ππ→

3|AC|时等号成立．因为0

66

12．(2019·天津九校联考)在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，

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