2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第一部分刷考点考点四平面向量(理)

考点四 平面向量

一、选择题

1．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝( )

1A．－ 2C．－2 答案 C

解析 因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.

→

2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( ) 4??3

A．?，－?

5??5

3??4

B．?，－?

5??51

B． 2D．2

?34?C．?－，? ?55?

答案 A

?43?D．?－，? ?55?

→

4?AB1→?3

解析 因为AB＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝?，－?，

5?→5?5

|AB|故选A.

3．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为( )

A．8 C．4 答案 B

3－4

解析 由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故＝，即k＝－8.故选B.

6k4．(2019·湖南长沙一中一模)若非零向量a，b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则

B．－8 D．－4

a在b方向上的投影为( )

A．4 1C． 4答案 A

B．8 1D． 8

- 1 -

解析 由(a－2b)·a＝a－2a·b＝0得a·b＝＝＝8，从而a在b方向上的投影为

22

2

a2|a|2

a·b8

＝＝4，故选A. |b|2

→→

5．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，AD＝b，→

则向量BF＝( )

12A．a＋b 3312C．－a＋b

33答案 C

解析 由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点，得＝1→?12?→

?AD－2AB?＝－3a＋3b，故选C. ??

→→

6．(2019·辽宁朝阳四模)已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足BP＝λBC→→→→

(λ∈R)，若|AB|＝2，则AP·(AB＋AC)＝( )

A．23 C．6 答案 C

→→→

解析 设BC的中点为O，则|AO|＝3，因为BP＝λBC(λ∈R)，所以点P在直线BC上，→→→→→→→→→2

即AP在AO方向上的投影为|AO|，所以AP·(AB＋AC)＝2AO·AP＝2|AO|＝6，故选C.

7．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )

B．3

D．与λ有关的数值 12B．－a－b

3312D．a－b 33

CEEF1→2→2→→2

＝，则BF＝BE＝(BC＋CE)＝ABBF2333

?1?A．?－，2?∪(2，＋∞)

?2??1?C．?－，＋∞? ?2?

答案 A

B．(2，＋∞) 1??D．?－∞，－?

2??

解析 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，即－2λ－1<0且－2＋

??λ≠0，故λ的取值范围是?－，2?∪(2，＋∞)．

?

→→→→→

8．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( )

1?2

- 2 -

A．等腰三角形 C．正三角形 答案 A

→→→→→

解析 (OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0， →→→

即CB·(AB＋AC)＝0， →→→∵AB－AC＝CB，

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

→→→→→→∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰三角形，故选A. 二、填空题

9．(2019·山东栖霞模拟)若向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，且(a＋b)⊥(a－b)，则a·b＝________.

答案 －3

解析 因为a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，所以0×4＋(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝1或x＝－1，因为向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，所以x＝－1不成立，即x＝1，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3.

10．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，若a－b＝xe1＋ye2，则y＝________.

答案 －3

解析 由题图易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，则a－b＝(－e1－4e2)－(－2e1－e2)＝e1

－3e2，所以x＝1，y＝－3.

11．(2019·四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，

C(3,2)，若点P满足PA＋PB＋PC＝0，则|OP|＝________.

答案 22

→→→?1＋2＋3，1＋2＋3?，解析 因为PA＋PB＋PC＝0，所以P为△ABC的重心，故P的坐标为?3??3?→

即(2,2)，故|OP|＝22.

→→→

12．(2019·山东德州二模)已知△ABC中，|BC|＝2，BA·BC＝－2.点P为BC边上的动

- 3 -

→→→→

→→→→

点，则PC·(PA＋PB＋PC)的最小值为________．

25

答案 －

12

解析 以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(－1,0)，C(1,0)，设

P(a,0)，A(x，y)，由BA·BC＝－2，

→→→→

可得(x＋1，y)·(2,0)＝2x＋2＝－2，即x＝－2，y≠0，则PC·(PA＋PB＋PC)＝(1－a，0)·(x－a－1－a＋1－a，y＋0＋0)＝(1－a)(x－3a)＝(1－a)(－2－3a)＝3a－a－2＝125→→→→?1?225

3?a－?－，当a＝时，PC·(PA＋PB＋PC)的最小值为－. 612?6?12

三、解答题

→→

13．已知OA＝a，OB＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N. →

(1)用a，b表示向量MN；

→→

(2)设|a|＝1，|b|＝2，MN⊥OA，求a与b的夹角． 解 (1)由题意可得，AB是△SMN的中位线， →→→→

故有MN＝2AB＝2(OB－OA)＝2(b－a)． →→

(2)记a与b的夹角为θ，因为MN⊥OA，

→→22

所以MN·OA＝0，即2(b－a)·a＝0，则b·a－a＝0，所以|b|·|a|·cosθ－|a|＝0，1

又|a|＝1，|b|＝2，则2cosθ－1＝0，即cosθ＝，

2

而θ∈[0，π]，所以θ＝

π. 3

2

→→

3??1

14．(2019·四川成都龙泉中学模拟)已知平面向量a＝(3，－1)，b＝?，?.

?22?(1)证明：a⊥b；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．

13

解 (1)证明：∵a·b＝3×－1×＝0，∴a⊥b.

22

2

- 4 -