2020届江西省分宜中学、玉山一中等九校高三联合考试数学(文)试题(解析版)

121??1??2?故可得??， ann?n?1??nn?1?则

111??1??11?1???1??L??2??1???????L????? a1a2a202022320202021????????1?4040??2?1?. ???2021?2021故答案为：【点睛】

本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前n项和，属中档题.

15．设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

4040. 2021b2?a2??acosB?bcosA?，?ABC的周长为5为_________. 【答案】

2?2?1，则?ABC面积的最大值

?25 4【解析】利用余弦定理，求得B；再利用均值不等式即可求得ac的最大值，则问题得解. 【详解】

因为b2?a2??acosB?bcosA?，故可得

2?a2?c2?b2c2?b2?a2?22b?a??a??b??

2ac2bc??即b2?a2?4c2?2c2故可得B?2????2，整理得a2?c2?b2，

?2.

22又三角形为直角三角形，故可得a?c?a?c?5?2?1

?即2ac?2ac?5解得ac??2?1

?25，当且仅当a?c时取得最大值. 2125. 则其面积S?ac?2425. 故三角形ABC面积的最大值为4第 9 页 共 21 页

故答案为：【点睛】

25. 4本题考查正弦定理的综合应用，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.

16．已知四面体ABCD的棱长满足AB?AC?BD?CD?2，BC?AD?1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为___________. 【答案】

27? 4【解析】若满足题意，则四面体的外接球应该内切于圆锥即可.先求得四面体外接球的半径，再根据该球内切于圆锥，即可求得圆锥侧面积的最小值. 【详解】

若满足题意，则四面体的外接球应该内切于圆锥即可. 为逻辑清晰，我们将问题主要分为两步. 第一步：求得四面体ABCD外接球半径.

记nBCD外心为N，过N作平面BCD的垂线NO， 记外接球球心为O，连接OA,OB. 则外接球半径R?OD?OA.下面求解R.

BD2?DC2?BC27在nBCD中，由余弦定理可得cos?BDC??，

2BD?DC8则由同角三角函数关系可得sin?BDC?1?cos2?BDC?15. 8故nBCD外接圆半径r?BC1415. ??sin?BDC215第 10 页 共 21 页

将nAMD的图形单独抽取出来，取AD中点为H.如上面由图所示：

15?1??1?. 容易知：MA?MD?AB2??BC??22????2?2??2?在nAMD中，因为MA?MD?2215，AD?1， 222??15114??故可得MH?MD2?HD2??， ????2???2???2?MN?MD?ND?15715. ?r?230AM2?MD2?AD215?2?113cos?AMN???. 故可得152AM?MD152?4又因为cos?AMN?cos2?OMN?2cos?OMN?213， 15解得cos?OMN?210. 15在nOMN中，容易得OM?MN7151514. ???cos?OMN304210故可得OH?MH?OM?141414. ??2442?14??1?292222在nOND中，R?OD?OH?HD????. ?4???????2?8故可得四面体ABCD外接球半径R?32. 4第二步：根据外接球半径和圆锥的关系，求得圆锥的母线和底面圆半径. 若满足题意，则该外接球应该内切于圆锥，

作出轴截面的平面图，其中R点为QS的中点，如下所示：

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该截面图中TU?TR?R?32. 4由题可知nPQS为等边三角形，故可得?TSR?30?；

在nTRS中，tan?30??TR336. ，解得RS??RS343636.母线长PS?2RS?. 42363627?. ??442故可得圆锥的底面圆半径为RS?故可得圆锥的侧面积为??RS?PS???故答案为：【点睛】

27?. 4本题考查棱锥外接球半径的求解，以及圆锥的内切球，计算量比较大，涉及知识比较复杂，属综合困难题，适合做压轴题.

三、解答题

17．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，等比数列?bn?的前n项和为Tn，a1??1，

b1?1，a2?b2?3.

（1）若a3?b3?7，求?bn?的通项公式； （2）若T3?13，求Sn. 【答案】（1）bn22?2n?1；（2）Sn?n?n或Sn?4n?5n

1232【解析】（1）根据题意，列出公差和公比的方程，求得基本量，即可求得数列的通项公式；

（2）根据等比数列的前n项和，求得公比和公差，利用等差数列的前n项和公式，即可求得结果.

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