信号与系统习题答案 第三章

?1?cos(n?)?1cos(n?)f1(t)???cos(n?t)?sin(n?t)?24n?1(n?)n?n?1

(2)由f2(t)和f1(t)的波形图可知

TTf2(t)?f1(t?)f2(t)?f1(t?)2或2

则f2(t)的傅里叶数为

Tf2(t)?f1(t?)2

1?cos(n?)?1T??cos(n?)?T?????cosn?(t?)?sinn?(t?)??2???4(n?)2n?2??n?1?? n?1

?1?cos(n?)?1cos(n?)???cos(n?t?n?)?sin(n?t?n?)?2n?n?1 4n?1(n?) ?1?cos(n?)?1cos(n?)???cos(n?)cos(n?t)?cos(n?)sin(n?t)?24(n?)n?n?1n?1 ?1?1?cos(n?)1???cos(?n?t)?sin(?n?t)?24n?1(n?)n?1n?

(3)由f3(t)的波形可知f3(t)?f2(?t)

则f3(t)的傅里叶级数为 f3(t)?f2(?t)

?1?1?cos(n?)1???cos(?n?t)?sin(?n?t)?24(n?)n?n?1n?1 ?1?1?cos(n?)1???cos(n?t)?sin(n?t)?2n?1n? 4n?1(n?)

(4)有f4(t)的波形可知

f4(t)?f2(t)?f3(t) 则f4(t)的傅里叶级数为

1?2?1?cos(n?)?f4(t)?f2(t)?f3(t)???cos(n?t)22n?1(n?)

3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量

解：

（1）由f1(t)的波形求得f1(?t)的波形 则奇分量的波形为fod(t)=

f1(t)?f1(?t)f(t)?f1(?t)偶分量的波形为fed(t)=1

22（2）由f2(t)的波形求得f2(?t)的波形 则奇分量的波形为fod(t)=

f1(t)?f1(?t)f(t)?f1(?t)偶分量的波形为fed(t)=1

22

3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。

解：

（1） 由f1(t)的波形可知

t f1(t)=f1(?t)=?f1(t?)

2t42则有 an??f(t)cos(n?t)dt ,n?0,1,2,…

t0 bn?0

a0?a2?a4?…?b2?b4?b6?…?0

则f1(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。 （2） 由f2(t)的波形可知 f2(t)??f2(?t) 则有 an?0

t42 bn??f(t)sin(n?t)dt,n?0,1,2,…

t0则f2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。 （3） 由f3(t)的波形可知f3(t)?f3(?t)则有 bn?0

t42 an??f(t)cos(n?t)dt,n?0,1,2,…

t0即f3(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。 （4） 由f4(t)的波形可知，f4(t)为奇谐函数，即

t f4(t)??f4(t?)

2则有 a0?a2?a4?…?b2?b4?b6?…?0

即f4(t)的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。

3.9 如图的周期性方波电压作用于RL电路，试求电流i(t)的前五次谐波。

解：由us(t)的波形图可知周期T?2?,??2??1，则有 T1,2k????t?2k???22 us(t)??0,2k???t?2k??3?22{

22T由此可得傅立叶级数的系数 an??2us(t)con s?(tdt)T?T ?u(t)cos(nt)dt???cos(nt)dt ?????s1?1?2?2 ?{n?0时， a0??dt??2?21?2n?n?1,2,?时，an?sin()n?2

因us(t)为偶数，则bn?0,n?1,2,? 则电路激励us(t)的前五次谐波为

5a012 us(t)???ancost(5?)?2n?12?2tc?os?32tc?os(3)t cos(5)?5由电路得系统微分方程为i'(t)?i(t)?us(t)

欲求电流i(t)的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。 设ip(t)?C0?C1cost?C2sint?C3cos(3t)?C4sin(3t)?C5cos(5t)?C6sin(5t) 代入上面微分方程比较两边系数可得

1111C0?,C1?,C2?C,??,32??1?5

111C4??,C5?,C6?5?65?15?则电流i(t)的前五次谐波为

1111?cost?sitn??2??15?3.10求图示各信号的傅立叶变换。

ip(t)?1cots(?3?)5?1tsin?(3)65?1tc?os(5) t1?5sin(5)