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第三章习题
基础题
3.1 证明cost, cos(2t), …, cos(nt)(n为正整数)，在区间(0,2?)的正交集。它是否是完备集? 解：
(积分???)此含数集在(0,2?)2?0为正交集。又有sin(nt) 不属于此含数集?sin(nt)cos(mt)dt?0，对于所有的m
和n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。 3.2 上题的含数集在(0,?)是否为正交集？
解：
由此可知此含数集在区间(0,?)内是正交的。
TT23.3实周期信号f(t)在区间(?,)内的能量定义为E??2如有和信Tf(t)dt。?222T号f1(t)?f2(t)(1)若f1(t)与f2(t)在区间(?量等于各信号的能量之和;
TT,)内相互正交，证明和信号的总能22(2)若f1(t)与f2(t)不是相互正交的，求和信号的总能量。
解：(1)和信号f(t)的能量为
E?
?T2T?2f(t)dt?2?T2T?2?f1(t)?f2(t)?dt2T2T?2??T2T?2f12(t)dt??T2T?2（少乘以2）
f22(t)dt??f1(t)f2(t)dt由f1(t)与f2(t)在区间内正交可得则有 E??T2T?2f1(t)f2(t)dt?0
?T2T?2f12(t)dt??T2T?2f22(t)dt
即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。 和信号的能量为
(2)
E????T2T?2T2T?2f(t)dt??T2T?22T2T?2?f1(t)?f2(t)?dt2T2T?2（少乘以2吧？）
f12(t)dt??f22(t)dt??f1(t)f2(t)dt由f1(t)与f2(t)在区间(? ?则有E??T2T?221T2T?2TT,)内不正交可得 22f1(t)f2(t)dt?K?0
T2T?2T2T?2T2T?2f(t)dt??f(t)dt?K??22f(t)dt??21f22(t)dt
即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
3.4 求下列周期信号的基波角频率?和周期T。
（1）ej100t （2） cos[?(t?3)/2]
（3）cos(2t)?sin(4t) （4）cos(2?t)?cos(3?t)?cos(5?t)
（5）cos(?t/2)?sin(?t/4) （6） cos(?t/2)?cos(?t/3)?cos(?t/5)
解：(1)角频率为?＝100rads，周期T? (2)角频率为??2?2??s ?100?4s 22???s（先求T，后求omg吧？） (3)角频率为??2?rads，周期T??2??2s (4)角频率为???rads，周期T???2??8s (5)角频率为??rads，周期T?4??2??60s (6)角频率为??rads，周期T?30?3.5 用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
2?rads，周期T??
??2???T=4,2，则有 T解：(1)周期
? 1, 4k-1 t 4k+1f(t)=??0, 4k+1 t 4k+3（k是整数；怎么求的边界条件？） 由此可得
2T2n?t11n?tan???2Tf(t)cos(n?t)d(t)?1f(t)cos()dt?cos()dt???2?1T22222
2n??sin(),n?0,1,2,?n?2
bn??T2?T212n?tf(t)sin(n?t)d(t)??f(t)sin()dt?11sin(n?t)dtn?0,1,2,?2?222??12（X？）
2?????TT=2，
(2)周期
?sin(?t),2k?t?2k?1f(t)???0,2k?1?t?2k?2 ，则有
1T1111?jn?t?jn?t?jn?t2Fn?f(t)ed(t)?f(t)edt?sin(?t)edt?T????10Tn2221?e?jn?t?,n?0,?1,?2,?2由此可得： 2?(1?n)
3.6如图所示是4个周期相同的信号
（积分？
(1)用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数（三角形式）； (2)将图（a）的函数f1(t)左（或右）移，就得图（b）的函数f2(t)，利用(1)的结果求f2(t)的傅里叶级数；
(3)利用以上结果求图（c）的函数f3(t)的傅里叶级数； (4)利用以上结果求图（d）的信号f4(t)的傅里叶级数； 解：
(1)由f1(t)的波形可知
T?2t,kT?t?kT???T2f1(t)???0,kT?T?t?kT?T??2 ??2?T，则有
令
T2T22cos(n?)bn???2Tsin(n?t)dt??2tsin(n?t)dt??,n?1,2,?0T2TTn??1?cos(n?)?1cos(n?)f1(t)???cos(n?t)?sin(n?t)?4n?1(n?)2n?n?1TTf2(t)?f1(t?)f2(t)?f1(t?)22?1?1?cos(n?)1???cos(n?t)?sin(n?t)?4n?1(n?)2n?n?1
T2T22an???Tcos(n?t)f1(t)dt??2cos(n?t)dt0TT2
?cos(n?)?1,n?1,2,?(n?)2
2T2T22bn???Tsin(n?t)f1(t)dt??2tsin(n?t)dtT2T0T??cos(n?),n?1,2,?n?
则f1(t)的傅里叶级数为
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