坐标系与参数方程典型例题含高考题答案详细

7.在极坐标系中，?选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： ??(??0)表示以极点为起点

的一条射线；???(??R)表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点A(a,0)(a?0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是?cos??a.

1．坐标系：

①理解坐标系的作用.

②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极

坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：

①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、基础知识归纳总结：

1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:??x????x,(??0),??y,(??0).的作用下， ?y??点P(x,y)对应到点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐

标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离

OM叫做点M的极径，记为?；以极轴Ｏx

为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为?。有序数对(?,?)叫做点M的极坐标，记为M(?,?).极坐标(?,?)与(?,??2k?)(k?Z)表

示同一个点。极点O的坐标为(0,?)(??R). 4.若??0,则???0,规定点(??,?)与点

(?,?)关于极点对称，即(??,?)与(?,???)表

示同一点。

如果规定??0,0???2?，那么除极点外，

平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示；同时，极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是??r；

在极坐标系中，以C(a,0)(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是??2acos?；

在极坐标系中，以C(a,?2)(a>0)为圆心，a为半径的

圆的极坐标方程是??2asin?；

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

??x?f(t),并且对于t的每一个允许值，由这个方?y?g(t),程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆(x?a)2?(y?b)2?r2的参数方程可表示为??x?a?rcos?,?y?b?rsin?.(?为参数). 椭圆x2y2a2?b2?1(a>b>0)的参数方程可表示为

??x?acos?,?y?bsin?.(?为参数). 抛物线y2?2px的参数方程可表示为

??x?2pt2,(t为参数). ?y?2pt. 经过点MO(xo,yo)，倾斜角为?的直线l的标准

式参数方程可表示为??x?xo?tcos?,y?y.（t为参数）。

?o?tsin?10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x,y的取值范围保持一致. 三、基础训练：

1.在平面直角坐标系中，方程x2?y2?1所对应的

图形经过伸缩变换??x??2x,?y??3y后的图形所对应的方程

是_________________.

2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换

??x??3x,后，曲线C变为曲线x?22?y??y?9y??9，则曲线C的方程是_________________. 3．在同一平面直角坐标系中，使曲线y?2sin3x变

为曲线y?sinx的伸缩变换是_________________.

4．在极坐标系中，过点(4,?6)，并且和极轴平行的直

线的极坐标方程是___________________. 5．在极坐标系中，圆心在A(1,?4)，半径为1的圆的

极坐标方程是_______________________.

6.直角坐标方程

x216?y216?1化为极坐标方程是_________________________. 7.极坐标方程??2cos??4sin?化为直角坐标方

程是_______________________. 8.在极坐标系中，极点到直线?sin(???4)?22的距离是____________. 9．极坐标系内，曲线??2cos?上的动点P与定点

Q(1,?2)的最近距离等于____________.

10．柱坐标(2,2?3,1)对应的点的直角坐标是

_____________. 11.球坐标(2,?6,?3)对应的点的直角坐标是_______________. 12.参数方程??x?cos?,?y?1?cos2?.(?为参数)化为普通

方程是_________________________. 13.椭圆??x?5cos?,(?y?3sin?.?为参数)的焦点坐标是

_________________________.

??x?t?1,14．双曲线??t(t为参数)的离心率是???y?t?1t._________________________. 15.曲线??x?1?cos?,(?为参数)上的点与定点?y?sin?.A

（-1，-1）距离的最小值是_____________. 16.已知4x2?9y2?36，则2x?3y的最小值

是_________________.

17．点M（x,y）在椭圆x212?y24?1上，则点M到直线x?y?4?0的最大距离为________,

此时，点M的坐标是_____________. 四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编： 1．设a,b?R,a2?2b2?6,则a?b的最小值是

（） A．?22B．?533C．－3D．?72 2.在极坐标系中，圆心在(2，?)且过极点的圆的方

程为（）

A.??22cos?B.???22cos?C.

??22sin?D.???22sin?

3.极坐标方程ρ２

ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（） A．两条相交直线B．圆C．椭圆D．双曲线 5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，

π/6)到直线l的距离为．

6．点P(1,0)到曲线??x?t2y?2t（其中参数t?R）上

?的点的最短距离为（） （A）0 （B）1 （C）

2

（D）2

7.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

??x?t?33?t(参数t?R)，圆C的参数方程为?y???x?2cos??2sin??2(参数???0，2??)，则圆C的?y圆心坐标为，圆心到直线l的距离为.

8．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为

??4cos?，???4sin?．

(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

五．2014高考真题

1．[2014·广东卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________． 2．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________． 3．[2014·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________． 3．[2014·江苏卷]C．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

4．[2014·辽宁卷]选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4-4：坐标系与参数

方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线

l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数

方程

已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义

参考答案

三、基础训练：

?x??3xx?2y?2???1；2.x2?y2?1；3.?1.1；4.?sin??2； 49?y?y?2?2?； ?2cos(??)6.?2cos2??16；7.(x?1)2?(y?2)2?5；8.2413,3)；12.y?2x2,x?[?1,1] 9.2?1；10.(?1,3,1)；11.(,2213.F1(?4,0),F2(4,0)；14.2；15.5?1；16.?43；17.42,(?3,?1)

5.?四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编：

1.C；2.B；3.B；4.D；5.2；6.B；7.（0，2），22

8.(Ⅰ)⊙O1和⊙O2的直角坐标方程分别为(x?2)?y?4和x?(y?2)?4； (Ⅱ)经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程是x+y=0

五、广东省各地市2007年模拟考试中的《坐标系与参数方程》试题选编：

1.5;2.(x?4.1;5.

222222221)?(y?)?;3.?cos??2; 4447;6.相切 4