中国科学技术大学概率统计考题

中国科学技术大学

2006—2007学年第二学期考试试卷

考试科目：概率论与数理统计 得 分： 学生所在系： 姓 名 学 号：

（考期：2007年7月13日，闭卷，可用计算器）

一、（18分）

（1） 举例说明：一般而言，P(B|A)?P（B|A)?1和P(B|A)?P（B|A)?1不

成立；

（2） 举例说明：随机变量X与Y不独立，但X和Y独立； （3） 设A1，A2，A3，A4相互独立，且P(Ai)?1322,(i?1,2,3,4) 则

P(?Ai)? ( )；

i?14（4）设随机变量X与Y独立，且E(X)?E(Y)?0,Var(X)?Var(Y)?1。若命

W?X?Y，则Y与W的相关系数是（ ）；

（5）判断正误：设X与Y都是正态随机变量，则X与Y的联合分布由X与Y的边缘

分布唯一确定（ ）；

（6）判断正误：在假设检验中，我们要检验两个正态总体均值差?1??2??是否为

零，则X?Y??是统计量（ ）。

二、（10分）有100个零件，其中90个为一等品，10个为二等品。从中随机取出2个，安装在一台设备上。若2个零件中恰有k个二等品(k?0,1,2)，则该设备的使用寿命服从参数为??k?1的指数分布。若已知该设备寿命超过1，试求安装的2个零件均为一等品的概率。

三、（20分）设r.v.X~f(x)?6x(1?x),(0?x?1) （1）验证f(x)是概率密度函数并画出其图形； （2）求出X的概率分布函数；

（3）确定满足P(X?b)?P(X?3b/2)的数b，（0?b?1）； （4）计算P{X?12|13?X?23}。

四、（7分）设(X,Y)服从D?{(x,y)|?1?x?1,0?y?1}上的均匀分布，试求

Z?Y的概率密度函数fZ(z)。 3X

五、（30分）设样本?X1,X2,?,Xn?抽自总体X，X服从三点分布： P(X??1)?p,P(X?0)?1?3p,P(X?1)?2p （1） 试分别用样本一阶和二阶原点矩来估计未知参数p；

（2） 证明这两个估计都是无偏估计；

（3） 问这两个无偏估计，哪个更有效（即哪个方差更小）？ 六、（15分）为了解甲、乙二企业职工工资水平，分别从二企业各随机抽取若干名职工调查，得如下数据（单位：元）：

甲企业： 750，1060，750，1820，1140，1050，1000

乙企业：1000，1900，900，1800，1200，1700，1950，1200 设二企业职工工资分别服从正态分布N(?1,?2)和N(?2,?2)，二总体独立且均值、方差皆未知。试根据以上数据判断：甲企业职工平均工资是否低于乙企业职工平均工资？（分别在??0.05和??0.01两种水平下检验） （ 参考数据：t分布上侧分位点t?(n)

n ? 0.005 0.01 0.025 0.05

13 3.0123 2.6503 2.1604 1.7709 14 2.9769 2.6245 2.1448 1.7613 15 2.9467 2.6025 2.1315 1.7531

概率统计期末考题解答与评分标准

（2007年7月13日考试）

一、（18分）

（1）例如取：???1,2,3,4,5,6?,A??1,3,5?,B??3,5?；

（2）如：P?X??1??1?p,P?X?1??p,0?p?1,Y为任意随机变量； （3）P(?A)?1?P(?A)?1?(2/3)iii?1i?1444?65/81；

（4）?1/2；（5）误；（6）误。

二、（10分）89e2/(89e2?20e?1)。 三、（20分）：

1,x?1??23（1）?6x(1?x)dx?1；（2）F(x)??3x?2x,0?x?1；（3）b?2/5；（4）1/2。

0?0,x?0?1四、（7分）：

?1/(12z2),|z|?1/3。 fZ(z)??|z|?1/3?3/4,

五、（30分）：

?1)?E(p?2)?p； ?1?X,p?2?(1/3)X2；（1）p（2）E(pp(3?p)p(13?p)?1)??2)??2更有效。 ,Var(p,(0?p?1/3)，故p（3）Var(pnn

六、（15分）：

H0:?1??2?H1:?1??2，算得：x?1081.43,y?1456.25,ST?396.5111，代入

计算统计量值得：

x?yST1n1?1n2??1.8265??1.7709??t0.05(13),拒绝H0；

x?yST1n1?1n2??1.8265??2.6503??t0.01(13),无法拒绝H0。

中国科学技术大学

2007—2008学年第一学期考试试卷

考试科目：概率论与数理统计 得 分： 学生所在系： 姓 名 学 号：

（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）

一、（15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p代表了某种有用的信息，由于某种原因需要对其保密。现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛一枚硬币（每次正面出现的概率为?），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的为反面，则原序列中相应的数字由x变成1?x（即0变成1，1变成0）。加密后的序列可以公布，其中1的概率p*可以估计出来。若知道?的值，就可以从加密后的序列中的1的频率为p*计算出原序列的p，所以?称为“密钥”。

（4） 现已知p*?0.7，如果“密钥” ??0.4，试求p； （5） 试说明为什么均匀硬币（??0.5）不适合用来加密。

二、（15分）设随机变量X满足：|X|?1,P(X??1)?18,P(X?1)?14，而且，

X在(?1,1)内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：

（1）X的概率分布函数F(x)?P(X?x)；

（2）X取负值的概率； （3）X的数学期望E(X)。

三、（20分）二维随机变量(X,Y)的密度函数为：

?Ae?(3x?4y),(x?0,y?0) f(x,y)??0,其他?（1）试求系数A?？；（2）X与Y是否独立？ （3）试求Z?X?Y的密度函数fZ(z)； （4）试求Var?X|X?Y?1?。

2007—2008学年，第一学期，第1页（共2页）