（浙江专版）高中数学课时跟踪检测（九）等差数列的前n项和新人教A版必修5

课时跟踪检测（九） 等差数列的前n项和

层级一 学业水平达标

1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于( ) 32nA．－n＋

2232nC.n＋ 22

32nB．－n－

2232nD.n－ 22

解析：选A ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝

n－1＋2－3n232n＝－n＋.

22

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是( ) A．S70

B．S150

13

解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S13＝15a1＋a15

＝15a8<0，故选C.

2

a1＋a13

2

＝13a7>0，S15＝

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 C．36

B．45 D．27

解析：选B ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为( )

A．5 C．7

B．6 D．8

a117

解析：选B 由7a5＋5a9＝0，得＝－. d3

又a9>a5，所以d>0，a1<0.

d?d2?1a111737

因为函数y＝x＋?a1－?x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数

2?22d236?

6，故Sn取得最小值时n的值为6.

a55S9

5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )

a39S5

A．1

B．－1

1

C．2

9

a1＋a9

S92

解析：选A ＝

S55

a1＋a52＝

9a595

＝×＝1. 5a359

2

1D. 2

9×2a5＝ 5×2a3

6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An＋Bn，则该数列的公差为________． 解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An＋Bn－A(n－1)－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.

答案：2A

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________. 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列??是等差数列，所以＋

?n??Sn?

2

2

2

SmSm＋2

＝

mm＋2

2Sm＋1－23

，即＋＝0，解得m＝4. m＋1mm＋2

答案：4

8．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．

解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，

S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1

＝

n＋1a1＋a2n＋1

2

＝(n＋1)an＋1，

na2＋a2nS偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，

2

所以S奇n＋144

＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7， S偶n33

S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．

答案：11 7

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式． 解：由已知条件，可得Sn＋1＝2则Sn＝2

n＋1

n＋1

，

－1.

当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2又当n＝1时，3≠2，

2

1

n＋1

－1)－(2－1)＝2，

nn??3，n＝1，故an＝?n?2，n≥2.?

10．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知a1＋a3＝22，S5＝45. (1)求an，Sn；

(2)设数列{Sn}中最大项为Sk，求k.

??2a2＝22，解：(1)由已知得?

?5a3＝45， ???a1＝13，

所以?

?d＝－2，?

??a2＝11，

即?

?a3＝9，?

2

所以an＝－2n＋15，Sn＝－n＋14n.

(2)由an≥0可得n≤7，所以S7最大，k＝7.

层级二 应试能力达标

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( ) A．12 C．16

B．14 D．18

解析：选B 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1

＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝

na1＋an2

＝210，得n＝14.

2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，则正整数k为( ) A．2 014 C．2 016

B．2 015 D．2 017

解析：选C 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称2 011＋2 0142 009＋k性及S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，可得＝，解得k＝2 016.故选C.

22

3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S1<0,2S21＋S25＝0，则Sn取最小值时，n的值为( )

A．11 C．13

B．12 D．14

解析：选A 设等差数列{an}的公差为d，由2S21＋S25＝0得，67a1＋720d＝0，又d>0，∴67a11＝67(a1＋10d)＝67a1＋670d<0,67a12＝67(a1＋11d)＝67a1＋737d>0，即a11<0，a12>0.故选A.

An7n＋45an4．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数

Bnn＋3bn的正整数n的个数是( )

A．2 C．4

B．3 D．5

3

a1＋a2n－1a1＋a2n－1

22an解析：选D ∵＝＝

bnb1＋b2n－1b1＋b2n－1

2

＋

2

2n－12n－1

＝

A2n－172n－1＋4514n＋38

＝＝＝7B2n－12n－1＋32n＋2

12

，∴当n取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n的个数是5. n＋1

5．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的

最大自然数n是________．

解析：由a203＋a204>0?a1＋a406>0?S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.

答案：405

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≤4，S5≥15，则a4的最小值为________． 解析：S4＝2(a1＋a4)≤4?2a3－d≤2，S5＝5a3≥15?a3≥3.因为2a3－d≤2，所以d－2a3≥－2，又因为a3≥3，所以2a3≥6，所以d≥4，所以a4＝a3＋d≥7，所以a4的最小值为7.

答案：7

7．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝

Snn＋c(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．

解：(1)∵S4＝28，∴

a1＋a4×4

2

＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，

又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2

??a1＋d＝5，∴?

?a1＋2d＝9，?

??a1＝1，

解得?

?d＝4，?

2

∴an＝4n－3.

2

2n－n(2)由(1)，知Sn＝2n－n，∴bn＝＝，

n＋cn＋c∴b1＝

1615，b2＝，b3＝. 1＋c2＋c3＋cSn又{bn}也是等差数列， ∴b1＋b3＝2b2， 即2×

6115

＝＋， 2＋c1＋c3＋c1

解得c＝－(c＝0舍去)．

2

4

8．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn.

解：(1)由???

a1＋9d＝23，

得???

a1＝50，

??

a1＋24d＝－22，

?d＝－3，

?

∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令a53

n>0，得n<3

，

∴当n≤17，n∈N*

时，an>0； 当n≥18，n∈N*

时，an<0， ∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N*时，

|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋nn－1

3

1032

d＝－2n2＋

2

n. 当n≥18，n∈N*

时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2???－32×172＋1032×17???－???－32n2＋1032n??? ＝32n2－103

2

n＋884. ??－32

*

2n＋103

2

n，n≤17，n∈N，∴Sn＝???32*

2n－103

2n＋884，n≥18，n∈N.

5