江苏省泰州市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

【解析】 【分析】

对于①中，当P点与A1点重合，Q与点C1重合时，可判断①正确；当点P点与A1点重合，BP与直线B1C所成的角最小为60o，可判定②不正确；根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，可判定③正确；四面体BDPQ在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确. 【详解】

对于①中，当P点与A1点重合，Q与点C1重合时，BP?DQ，所以①正确；

对于②中，当点P点与A1点重合，BP与直线B1C所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60o，所以②不正确；

对于③中，设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，可得PQ?平面OBD， 平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥， 所以四面体BDPQ的体积一定是定值，所以③正确；

对于④中，四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，

四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为

2，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 2故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确. 故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.

16．若函数f(x)?mx2?ex?1(e为自然对数的底数）在x?x1和x?x2两处取得极值，且x2?2x1，则实数m的取值范围是______． 【答案】?【解析】 【分析】

xe先将函数f(x)在x?x1和x?x2两处取得极值，转化为方程m?(x?0)有两不等实根x1,x2，且

2xxxeex2?2x1，再令h(x)?(x?0)，将问题转化为直线y?m与曲线h(x)?有两交点，且横坐标满足

2x2x?1?，??? ?ln2?exx2?2x1，用导数方法研究h(x)?单调性，作出简图，求出x2?2x1时，m的值，进而可得出结果.

2x【详解】 因为

f(x)?mx2?ex?1，所以f?(x)?2mx?ex，

又函数f(x)在x?x1和x?x2两处取得极值，

所以x1,x2是方程2mx?ex?0的两不等实根，且x2?2x1，

ex即m?(x?0)有两不等实根x1,x2，且x2?2x1，

2xex令h(x)?(x?0)，

2xxe则直线y?m与曲线h(x)?有两交点，且交点横坐标满足x2?2x1，

2xex(2x?2)ex(x?1)又h?(x)?， ?224x2x由h?(x)?0得x?1，

xe所以，当x?1时，h?(x)?0，即函数h(x)?在(1,??)上单调递增；

2xxe当x?0，0?x?1时，h?(x)?0，即函数h(x)?在(??,0)和(0,1)上单调递减；

2xex1ex2ex11??当x2?2x1时，由得x1?ln2，此时m?， 2x12x22x1ln2因此，由x2?2x1得m?故答案为?1. ln2?1?，??? ?ln2?

【点睛】

本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是??x?1?2cos?(?为参数)，以原点O为极点，x轴

?y?2sin???正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos???(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

????2. 4?(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求PA?PB. 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3. 【解析】 【分析】

(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于t的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解. 【详解】

(1)由曲线C的参数方程

(α为参数)

(α为参数)，

两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；

由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.

ρcosθ－ρsinθ＝2，

(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．

|PB|＝|t1|·|t2|， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·

将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，

t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 则Δ>0，由韦达定理可得t1·

18．max?m,n?表示m，n中的最大值，如max3,10?10，己知函数f(x)?maxx?1,2lnx，

2?????1???g(x)?max?x?lnx,?x2??a2??x?2a2?4a?.

2????（1）设h(x)?f(x)?3?x???1?2?(x?1)，求函数h?x?在?0,1?上的零点个数； 2?（2）试探讨是否存在实数a???2,???，使得g(x)?取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）个；（1）存在，(【解析】 试题分析：（1）设域即可；（1）分别对

和

3x?4a对x??a?2,???恒成立？若存在，求a的2ln2?1,2]. 4，对其求导，及最小值，从而得到

两种情况进行讨论，得到

的解析式，进一步求值

，通过求导

的解析式，进一步构造

得到最值，得到满足条件的的范围．

试题解析：（1）设F?x??x2?1?2lnx,F??x??2x?22?x?1??x?1?，．．．．．．．．．．．．．1分 ?xx令F??x??0，得x?1,F?x?递增；令F??x??0，得0?x?1,F?x?递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴F?x?min?F?1??0，∴F?x??0，即x2?1?2lnx，∴f?x??x?1．．．．．．．．．．．．．3分

2设G?x??3?x???1?2x?1??，结合f?x?与G?x?在?0,1?上图象可知，这两个函数的图象在?0,1?上有两?2?个交点，即h?x?在?0,1?上零点的个数为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （或由方程f?x??G?x?在?0,1?上有两根可得）