导数在中学数学中的应用

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BACHELOR ’S THESIS 号如何变化。如果f?(x)符号由正（负）变负（正），则f(x0)是极大（小）值，如果f?(x)?0在x?x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值.

例6：求f(x)?x2?x?2的极值. 解：

f(x)的定义域为R，(??,??)且f?(x)?2x?1

1令f?(x)?0?2x?1?0?x?.

2111x?把f(x)的定义域分成(??,)，(,??)

22211x (??,) 22 f?(x) (1,??) 2

? 0 ? 增 f(x) 减 1极小值f() 2 因此，当x?119时，f(x)有最小值f()?? 224例7：设x?1，x?2是函数f(x)?x5?ax3?bx?1的两个极值点. （1）求a和b的值；（2）求f(x)的单调区间; 解：(1)

f(x)的定义域R，且f?(x)?5x4?3ax2?b

由题知，x?1和x?2是f(x)的极值点. f?(1)?5?3a?b，f?(2)?90?12a?b 解得a??25，b?20. 3(2)由（1）知，f?(x)?5x4?25x2?20?5(x2?1)(x2?4)

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BACHELOR ’S THESIS ?5(x?1)(x?1)(x?2)(x?2).

?当x?(??,?2)(2,??)时，f?(x)?0

当x?(?2,?1)(1,2)时，f?(x)?0.

?f(x)的单调递增区间(??,2)(?1,1)(2,??),

f(x)的单调递减区间(?2,?1)(1,2);

2.2.2 第二判别法

若函数f(x)在点a存在n阶导数,且

（1）n是奇数,则a不是函数f(x)的极值点； （2）n是偶数,则是a函数f(x)的极值点：

当 f?n?(a)?0时,a是函数f(x)的极小点,f(a)是极小值； 当 f?n?(a)?0时,a是函数f(x)的极大点;f(a)是极大值.

2.2.3 两个注意问题

a) f?(x)?0是当函数可导时,在x0处具有极值的必要条件,但不是充分条件.也就是说,不要误以为f?(x)?0时,f(x0)便一定是极值.如:f(x)?x3在x?0时f?(0)?0,但不是函数的极值点，见图1.

y y y?x 23y?x3 x x

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图2 图1

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BACHELOR ’S THESIS b) 当函数在x0点的导数不存在时,函数也可能取得极值.如:y?x,当x?0时,y'不存在,然而从极值的定义很容易判断yx?023?0是极小值，见图2.

导数最值问题的应用：求函数y?f(x)在?a,b?上的最值步骤：

设函数f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在?a,b?上的最值的步骤： (1)求f(x)在(a,b)的极值;

(2)计算f(x)的极值和端点的函数值，并把这些值加以比较，其中一个为最大值，最小的一个为最小值.

例8：已知函数f(x)??x3?3x2?9x?a. （1）求f(x)的单调减区间；

（2）若f(x)在区间??2,2?上的最大值时20.求它在该区间的最小值； 解：（1）

f?(x)??3x2?6x?9，令f?(x)?0，解得x??1或x?3

?函数f(x)的单调递减区间为(??,?1),(3,??) （2）

f(?2)?8?12?18?a?2?a，f(2)??8?12?18?a

?f(2)?f(?2) ?在(?1,3)上f?(x)?0 f(x)在??1,2?上单调递增，又由于f(x)在??2,?1?上单调递减 ?f(2)和f(?1)分别时f(x)在区间??2,2?上的最大值和最小值. 于是有22?a?20?a??2.

?f(x)??x3?3x2?9x??2， f(?1)?1?3?9?2??7 即函数f(x)在区间??2,2?上的最小值为?7

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BACHELOR ’S THESIS 2.2.4函数的最值和极值的关系

这两个是不同的概念,最值点可以端点或极值点,而极值点不一定是最值点.显然最值点在区间内部取得,则一定是函数的极值点.因此,函数的最值只能在驻点或导数不存在的点或区间的端点取得.

例9:求闭区间??8,8?上函数f(x)?x?1.5x的最大值.

解:对函数求导,f?(x)?1?x可求驻点x1?1,导数不存在的点为x2?0; 以此求出驻点,导数不存在的点及端点的函数值:

1f(1)?,f(0)?0,f(?8)??14,f(8)?2.

2所以最大值为2,最小值为-14.

例10:求证x???x?1??(x?0,0???1) 分析:用求最大(小)值的方法来证

设f(x)?x???x?1?? 则f?(x)??x??1????(x??1?1) 令f?(x)?0 ，解得x?1 ； 又f??(x)??(??1)x??2,f\(1)?0 ;

所以f(x)在x?1处取得极大值,因为f(x)在?0,???内可导,且极值点x?1是唯一的驻点,所以极大值f(1)也是f(x)在?0,???内的最大值,因此在?0,??上有

f(x)?f(1)?0， 即x???x?1???0；

即x???x?1?? (x?0,0???1).

一般而言,在某个区间内可导的函数,如果有唯一的驻点,则当此驻点位极值点时,它必同时为最值点.在求实际问题时,往往唯一的极值点就是最值点.

例11:试比较?e与e?的大小(??e?0).

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