微观习题34

所以在区域I中不存在使利润最大的点.

2已知某厂商的生产函数为Q=L K，又设PL=3元，PK=5元。 （1） 求产量Q=10时的最低成本支出和使用的L与K的数量。 （2） 求产量Q=25时的最低成本支出和使用的L与K的数量 （3） 求总成本为160元时厂商均衡的Q、L与K的植 解：（1）由已知，成本方程为 TC=3L+5K 则 MinTC=3L+5K S.t 10= L K 设拉格朗日函数为

X=3L+5K+?（10—L K） （1） 对（1）式分别求L、K及?的偏导数并令其为零，则得

3858835883583?X =3—? L8 K

8?L5?X =5—? L8 K

8?K3535?58=0 ??=8 L K

3858?58 （2）

?38=0 ??=8 L K

35?38 （3）

?X =10—L8 K8=0 ? L8 K8=10 （4）

??由（2）/（3）得

8 L K

58?5838?38/8 L K

=1?K

?1L=1?K=L （5）

将（5）式代入（4）式求得 K=L=10

Min TC=3L+5K=30+50=80

所以 当产量Q=10时的最低成本支出为80元，使用的L与K的数量均为10。 （2）求即定产量下的最低成本支出和投入产生要素组合除了用（1）题所示方法求解外，还可根据MPPL/MPPK = PL/ PK的厂商均衡条件求解。 对于生产函数Q=L K

MPPL/MPPK = PL/ PK得

38583 L

8?585 K/ L8 K

838583?38=

3?K=L 5代入当产量Q=25时的生产函数 L K=25 求得K=L=25

58因为 minTC=3L+5K=3*25+5*25=200

所以 当产量Q=25时的最低成本支出为200元，使用的L与L的数量均为25。 （4） 花费给定成本使产量最大的厂商均衡条件为 MPPL/MPPK = PL/ PK 对于生产函数Q=L K

38583 MPPL= L

83?58 K

?38585 MPPK= L8 K

83则 L

8?58

5 K/ L8 K

8583?38=

3?K=L 5代入总成本为160元时的成本函数3L+5K=160 求得 K=L=20 则 Q= L K=20

所以 当总成本为160元时厂商的均衡产量为20，使用的L与K的数量均为20。 3、已知生产函数为Q=L

0.53858K

0.5，试证明：

（1）该生产过程是规模报酬不变。 （2）受报酬递减规律的支配。 证明：（1）因为 Q=f（L,K）= L

0.5K

0.5

0.5f (?L,?K)=(?L)=?0.5?0.50.5(?K)

L

0.5K

0.5

=?L

0.5K

0.5=?Q

所以该生产过程是规模报酬不变。

（2）假定资本K的投入量不变（用K表示），而L为可变投入量。 对于生产函数Q=L

0.5K0.5

0.5 MPPL=0.5K又

L

?0.5 L

?0.5d MPPL=-0.25KdL0.5<0

这表明，当资本使用量既定时，随着使用的劳动量L的增加，劳动的边际产量是递减的。

同样，MPPK=0.5L0.5K?0.5

d MPPK=-0.25LdK0.5 K?0.5<0

这表明：劳动使用量既定时，随着使用的资本量K的增加，资本的边际产量是递减的。

上述分析表明生产过程受报酬递减规律的支配。 4、已知生产函数为Q=min（3K，4L） （1）作出Q=100时的等产量曲线； （2）推导出边际技术替代率函数； （3）讨论其规律报酬情况。 解：（1）生产函数Q=min（3K，4L）表示定比生产函数，它反映了资本和劳动在技术上必须固定比例投入的情况，本题Q=100时等产量曲线为直角形式，资本与劳动的必要比例为K/L=4/3。且3K=4L=100，即K=100/3，L=25

（2）由于K和L是不可替代的，因此边际替代率为零。 （3）因为 Q=f (L,K)=min(3K，4L)

所以 f（λL，λK）=min(3λK,4λL)=minλ(3K,4L)= λmin(3K,4L)= λQ 所以 该生产函数为规模报酬不变。