2016年高考真题——文科数学(全国卷Ⅲ) Word版含答案

解：（Ⅰ）由题设F(,0).设l1:y?a,l2:y?b，则ab?0，且

12a2b2111a?bA(,0),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,). 222222记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x?(a?b)y?ab?0. .....3分 （Ⅰ）由于F在线段AB上，故1?ab?0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1?a?ba?b1?ab?????b?k2. 221?aa?abaa所以AR∥FQ. ......5分 （Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则S?ABF?a?b111b?aFD?b?ax1?,S?PQF?. 222211a?b由题设可得b?ax1??，所以x1?0（舍去），x1?1.

222设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得而

2y?(x?1). a?bx?1a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 22当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y?x?1. ....12分 （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设，f(x)的定义域为(0,??)，f'(x)?'1?1，令f'(x)?0，解得x?1. x'当0?x?1时，f(x)?0，f(x)单调递增；当x?1时，f(x)?0，f(x)单调递减. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在x?1处取得最大值，最大值为f(1)?0. 所以当x?1时，lnx?x?1. 故当x?(1,??)时，lnx?x?1，ln11x?1??1，即1??x. ………………7分 xxlnxx'x'（Ⅲ）由题设c?1，设g(x)?1?(c?1)x?c，则g(x)?c?1?clnc，令g(x)?0，

9

c?1lnc. 解得x0?lncln''当x?x0时，g(x)?0，g(x)单调递增；当x?x0时，g(x)?0，g(x)单调递减. ……………9

分

由（Ⅱ）知，1?c?1?c，故0?x0?1，又g(0)?g(1)?0，故当0?x?1时，g(x)?0. lncx所以当x?(0,1)时，1?(c?1)x?c. ………………12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结PB,BC，则?BFD??PBA??BPD,?PCD??PCB??BCD.

因为AP?BP，所以?PBA??PCB，又?BPD??BCD，所以?BFD??PCD. 又?PFD??BFD?180,?PFB?2?PCD，所以3?PCD?180， 因此?PCD?60?. （Ⅱ）因为?PCD??BFD，所以?PCD??EFD?180?，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在

??CD的垂直平分线上，因此OG?CD.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2?y2?1，C2的直角坐标方程为x?y?4?0. ……5分 解：（Ⅰ）C1的普通方程为3（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值， 即为P到C2的距离d(?)的最小值，d(?)?………………8分 当且仅当??2k??|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.

32?6(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为

31(,). ………………10分 2224.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当a?2时，f(x)?|2x?2|?2.

10

解不等式|2x?2|?2?6，得?1?x?3.

因此，f(x)?6的解集为{x|?1?x?3}. ………………5分 （Ⅱ）当x?R时，f(x)?g(x)?|2x?a|?a?|1?2x|

?|2x?a?1?2x|?a ?|1?a|?a，

当x?12时等号成立， 所以当x?R时，f(x)?g(x)?3等价于|1?a|?a?3. 当a?1时，①等价于1?a?a?3，无解. 当a?1时，①等价于a?1?a?3，解得a?2. 所以a的取值范围是[2,??). ………………10分 11

① ……7分