2018-2019学年上海市嘉定区高二第二学期期末考试数学试题（解析版）

uvvuuur?n?PP?y??x?19?x?z?0uv则?vuuu，得?，取x?1，得n??1,?1,1?， ??z?x12?x?y?0?n?PPuuuurrP9P13?n23?sin????PPPuuuurr设直线P9P和平面的所成角为，则， 13129323P9P13?n3?直线P9P． 13和平面P1P2P9的所成角为arcsin3【点睛】

本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

x2y221．双曲线2?2?1?a,b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲

ab线交于A、B两点．

? ，a?3，?F1AB是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；

2uuuruuuruuur（2）a?3，b?1，若l的斜率存在，且F1A?F1B?AB?0，求l的斜率；

（1）若l的倾斜角为

??a2b2（3）证明：点P到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2是该点在已2a?b知双曲线上的必要非充分条件．

x2y27??1；【答案】（1）（2）?；（3）见解析. 36?6272b【解析】（1）将x?c代入双曲线的方程，得出y??，由?F1AB是等腰直角三角

ab2 形，可得出2c?，再将a?3代入可得出b的值，由此可得出双曲线的标准方程；

a（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线l的方程为y?k?x?2?，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段AB的中点M的坐标，由

?uuuruuuruuuruuuruuurF1A?F1B?AB?0得出F1A?F1B，转化为F1M?AB，利用这两条直线斜率之

?积为?1，求出实数k的值，可得出直线l的斜率；

（3）设点P?x0,y0?，双曲线的两条渐近线方程为bx?ay?0，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证. 【详解】

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?b2 （1）直线l的倾斜角为，a?3，可得直线l:x?c，代入双曲线方程可得y??，

2a2b?F1AB是等腰直角三角形可得2c?，即有23c?b2?c2?a2?c2?3， ax2y2??1； 解得c?3?6，b?c?a?6?62，则双曲线的方程为

36?62222（2）由a?3，b?1，可得c?3?1?2，

直线l的斜率存在，设为k，设直线方程为y?k?x?2?，

?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuur2F1A?F1B?AB?F1A?F1B?F1B?F1A?F1B?F1A?0，可得F1A?F1B，

?????由y?k?x?2?，联立双曲线方程x-3y?3，

22可得1?3k?2?x2?12k2x?12k2?3?0，

?6k22k?12k2,可得x1?x2?2，线段AB的中点M为?2?， 23k?13k?13k?1??由F1M?l，可得k?kF1M?解得k??2k??1， 226k?6k?277422 ，满足??144k?4??12k?3??1?3k??0，故直线l的斜率为?；77（3）证明：设P?x0,y0?，双曲线的两条渐近线为bx?ay?0， 可得P到渐近线的距离的乘积为bx0?ay0b?a22?bx0?ay0b?a22?22b2x0?a2y0a2?b2a2b2， ?22a?b22x0y0即为bx?ay?ab，可得2?2??1，

ab2222022x2y2x2y2可得P在双曲线2?2?1或2?2??1上，

ababa2b2即有点P到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2是该点在已知双曲2a?b线上的必要非充分条件． 【点睛】

本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.

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