线性空间2

§2. 线性空间的定义及其性质

复习：n维向量空间： ?数域p中的数作为分量的n维向量的全体。 ?定义在它们上面的加法封闭。 ?定义在它们上面的数量乘法封闭。 引例1. 在解析几何中，二维实向量的加法与数乘。

设在平面直角坐标系内有两个坐标α=（a1,a2）,β=(b1,b2）. 则α+β=（a1?b1,a2?b2）。

kα=（ka1,ka2），其中k是一个实数。 k>0，原方向伸长，k<0,反方向伸长。 说明：引例1为实二维向量空间。

引例2. 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。 比如，全体定义在区间[a,b]上的连续函数。构成实数域上的线性空间。 设f(x)和g(x)在[a,b]上是连续函数，则有数学分析知识知道f(x)?g(x)是连续函数。kf(x)还是连续函数。 k?R。

从而全体定义在[a,b]上的连续函数，也对加法和数乘运算封闭。

从以上两个例子中，我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，即，它们都有加法和数量乘法这两种运算。

在例1中，k的取值决定了运算的范围，如果k取有理数域中的数，则此时的数乘运算只能满足有理数域内部，若k为实数域中的数，则扩充到实数域内运算，因此，必须先确定数域作为基础。

1.定义：设V是一个非空集合。P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法。即，给出了一个运算法则，对于V中任意的两个元素α与β，在V中都有唯一的一个元素r与它们对应，称r为α与β的和，记为r=α+β。

在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即，对于数域P中任一数k与V中任一元素α，在V中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k与α的数量乘积，记为δ=kα。

线性空间定义：设V是一个非空集合，P是一个数域。如果加法和数量乘法运算满足下述规则：

加法： （1）交换律：α+β=β+α； （2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）零元素：在V中有一个元素0，不只是数域中的0，可能为其他， 对于V中任一元素α都有0+α=α。 （4）负元素;对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使α+β=0. 数量乘法：（1） 单位元： 1α=α； （2） 数乘结合律： k(l?)?(kl)?; k,l?p.

数乘与加法：（1）左分配律：(k?l)??k??la。 （2）右分配律：k(???)?k??k?。 那么V称为数域P上的线性空间。k,l?p.??????v。

例1：验证数域P上一元多项式环p[x]，按照通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间。 证明：0多项式属于p[x]，因此，非空成立， 令f(x),g(x),h(x)?p[x],则

(1)f(x)?g(x)?g(x)?f(x);(2)(f(x)?g(x))?h(x)?f(x)?(g(x)?h(x));(3)f(x)?0?f(x);(4)f(x)?(?f(x))?0;(5)1?f(x)?f(x);(6)k(lf(x))?(kl)f(x).k,l?p.(7)(k?l)f(x)?kf(x)?lf(x);(8)k(f(x)?g(x))?kf(x)?kg(x)因此，构成线性空间。

例2.p[x]n表示次数小于n的多项式与零多项式的全体，验证，p[x]n也构成数域P上的一个线性空间。

例3. 元素属于属于P的m?n矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用pm?n表示。

3.定义：线性空间的元素也称为向量，因此，线性空间也称维向量空间。 用?????代表线性空间V中的元素。 a,b,c代表数域P中的数。 4.线性空间的简单性质

性质1.零元素是唯一的。

证明：假设01,02是线性空间V中的两个零元素，只需证01?02。 由于01是零元素，所以01?02?02;又由于02也是零元素，所以，即01?01?02?02，从而，零元01?02?02?01?01（线性空间V交换律成立）素唯一。

性质2.负元素是唯一的。即?????的元素?是被元素?唯一决定的。 证明：假设?有两个负元素?与?，即???????????，那么

??????????????(???)????????。

注：向量?的负元素记为-?。

减法定义为??????????。

???性质3. 0????,k0?0.(?1)?????

? 证明：先证0?????因为???????????????1?0??????????两边加上

???，即得 0???0。

???????k??k0?k(???)?k??????再证k0?0，因为两边加上-k?，得k0?0. ?最后证明(?1)??????因为????1?????????1?????1?1?????????.两边加上??，即得，(?1)?????

??性质4.如果k????那么k?0,或者????

?? 证明：假设k?0,于是，一方面，k?1存在的且k?1?(k?)?k?1?0?0.而另一方

?面，k?(k?)?(k?k)?????????因此，即得 ????

?1?1

总结：（1）掌握线性空间的定义及其验证方法 （2）理解性质1－4，并会应用。 作业：p267. 3 （1），（3），（5），（7）。 4