工程力学第九章梁的应力和强度计算

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二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数 1、常用截面的惯性矩IZ 惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。 它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。 IzCIyC bh3?12hb3?12IzC?IyC??D464 2、常见截面的抗弯截面系数 在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。有公式可知，当y=ymax4 4 时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。 I z C ? I y C ? M?ymaxM?max??IZIZymax令：则有：IZWZ?ymax?max?MWZ? ( D ? d ) 64 矩形截面抗弯截面系数：圆形截面抗弯截面系数：空心圆截面抗弯截面系数： IZbh3/12bh2WZ???ymaxh/26IZ?d4/64?d3WZ???ymaxd/232Wz??d332(1??4),??dD word版本

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例题如图所示，某20a工字型钢梁在跨中作用集中力F，已知l＝6m，F＝20kN，求梁中的最大正应力。解：（1）计算梁内的最大弯矩跨中截面PlMmax?4?30kN?m（2）查找型钢表，确定20a工字型的抗弯截面系数Wz?2.37?105mm3（3）根据弯曲正应力公式的计算?maxMmax??126.6MPaWZ 三、弯曲正应力强度的计算 应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。 （1）强度校核 在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[?]和WZ值）以及所受荷载（即已知M）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即 ?max? （2）截面设计 当已知荷载和所用材料（即已知M和 [?]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。 Mmax?[?]Wz MmaxWz?[?] 求出WZ后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。 （3）计算许可载荷 若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[?]和WZ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。 [M]?[?]?Wz 根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[?]，但以不超过[?]的5%为限。即 word版本

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?max?[?]?100%?5%[?] 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。 （2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节 梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力?均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 QS??Izb*z二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 word版本

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2h1hbh*Sz?b(?y)?[y?(?y)]?(?y2)22224 将上式带入剪应力公式得： Qh2??(?y2)2Iz4 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为 ?max即 QhQhQh3QQ2?(?y)????1.53bh2Iz48Iz2bhA8?12 222?maxQ?1.5A 上市说明：矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A的1.5倍。 综上所述：剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同，正应力最大的在截面的上下边缘各点，剪应力为零；剪应力最大的在中性轴上各点，正应力为零。 三、工字形横截面的剪应力 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 word版本