高中数学培优专题08 数列(解析版)

an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；

∴an＝（）n+n

，

bn＝（）n﹣n

．

29．【2019年北京理科20】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1＜i2＜…＜im），若a

a

a，则称新数列a，a，…，a为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一

项都是{an}的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a，长度为q的递增子列的末项的最小值为a．若p＜q，求证：a

a；

（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s﹣1，且长度为s末项为2s﹣1的递增子列恰有2s【解答】解：（I）1，3，5，6．

（II）证明：考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p的一个递增子列， ∴∴

该数列的第p项

．

，

﹣1

个（s＝1，2，…），求数列{an}的通项公式．

（III）解：考虑2s﹣1与2s这一组数在数列中的位置．

若{an}中有2s，在2s在2s﹣1之后，则必然在长度为s+1，且末项为2s的递增子列， 这与长度为s的递增子列末项的最小值为2s﹣1矛盾，∴2s必在2s﹣1之前． 继续考虑末项为2s+1的长度为s+1的递增子列．

∵对于数列2n﹣1，2n，由于2n在2n﹣1之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n与2n﹣1，

∵对于1至2s的所有整数，研究长度为s+1的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，……，第s项是2s﹣1与2s二选1，

故递增子列最多有2s个．由题意，这s组数列对全部存在于原数列中，并且全在2s+1之前． ∴2，1，4，3，6，5，……，是唯一构造． 即a2k＝2k﹣1，a2k﹣1＝2k，k∈N*．

30．【2019年江苏20】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．

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（1）已知等比数列{an}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{an}为“M﹣数列”；

（2）已知数列{bn}（n∈N*）满足：b1＝1，①求数列{bn}的通项公式；

，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．

【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则 由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得

∴，

∴数列{an}首项为1且公比为正数 即数列{an}为“M﹣数列”；

（2）①∵b1＝1，，

∴当n＝1时，

，∴b2＝2，

当n＝2时，

，∴b3＝3，

当n＝3时，

，∴b4＝4，

猜想bn＝n，下面用数学归纳法证明； （i）当n＝1时，b1＝1，满足bn＝n，

（ii）假设n＝k时，结论成立，即bk＝k，则n＝k+1时，

由，得

k+1，

故n＝k+1时结论成立，

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根据（i）（ii）可知，bn＝n对任意的n∈N*都成立． 故数列{bn}的通项公式为bn＝n； ②设{cn}的公比为q，

存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立， 即qk﹣

1≤k≤k对k≤m恒成立，

当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，

当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，

即，

令f（x），则，

当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，

∴当k≥3时，，

令g（x），则，

令，则，

当x≥3时，?'（x）＜0，即g'（x）＜0， ∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，

即k≥3时，，则

，

下面求解不等式，

化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，

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令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）ln3，

由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，

又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0， ∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，

∴m的最大值为5，此时q∈，．

31．【2019年浙江20】设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3．数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记cn

，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn＜2，n∈N*．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d， 由题意得

解得a1＝0，d＝2， ∴an＝2n﹣2，n∈N*． ∴Sn＝n2﹣n，n∈N*，

∵数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列． ∴（Sn+1+bn）2＝（Sn+bn）（Sn+2+bn），

，

解得

解得bn＝n2+n，n∈N*．

，

证明：（Ⅱ）用数学归纳法证明：

①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；

，n∈N*，

②假设n＝k，（k∈N*）时不等式成立，即c1+c2+…+ck＜2则当n＝k+1时，

，

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