当前位置:首页 > 高中数学培优专题08 数列(解析版)
专题08数列
1.【2019年新课标3理科05】已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( ) A.16
B.8
C.4
D.2
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q(q>0), 则由前4项和为15,且a5=3a3+4a1,有
,∴
,
∴,
故选:C.
2.【2019年新课标1理科09】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( A.an=2n﹣5 B.an=3n﹣10
C.Sn=2n2﹣8n
D.Sn
n2﹣2n
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d, 由S4=0,a5=5,得
,∴
, ∴an=2n﹣5,,
故选:A.
3.【2019年浙江10】设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=an2+b,n∈N*,则( )
A.当b时,a10>10 B.当b时,a10>10
C.当b=﹣2时,a10>10 D.当b=﹣4时,a10>10
【解答】解:对于B,令0,得λ,
取,∴
,
1
)∴当b
时,a10<10,故B错误;
对于C,令x2﹣λ﹣2=0,得λ=2或λ=﹣1, 取a1=2,∴a2=2,…,an=2<10, ∴当b=﹣2时,a10<10,故C错误;
对于D,令x2﹣λ﹣4=0,得
,
取,∴,…,10,
∴当b=﹣4时,a10<10,故D错误;
对于A,,,
,
an+1﹣an>0,{an}递增,
当n≥4时,
an1,
∴,∴
()6,∴a10
10.故A正确.
故选:A.
4.【2018年新课标1理科04】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(A.﹣12
B.﹣10
C.10
D.12
【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,
)2
∴
a1+a1+d+4a1d,
把a1=2,代入得d=﹣3 ∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10. 故选:B.
5.【2018年浙江10】已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则( ) A.a1<a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4
B.a1>a3,a2<a4 D.a1>a3,a2>a4
【解答】解:a1,a2,a3,a4成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同, a1>1,设公比为q,
当q>0时,a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),不成立, 即:a1>a3,a2>a4,a1<a3,a2<a4,不成立,排除A、D.
当q=﹣1时,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,等式不成立,所以q≠﹣1;
当q<﹣1时,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立, 当q∈(﹣1,0)时,a1>a3>0,a2<a4<0,并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),能够成立, 故选:B.
6.【2017年新课标1理科04】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1
B.2
C.4
D.8
【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,
∴
解得a1=﹣2,d=4, ∴{an}的公差为4. 故选:C.
,
7.【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,
3
21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440
B.330
C.220
D.110
【解答】解:设该数列为{an},设bn
2n+1﹣1,(n∈N+),则
ai,
由题意可设数列{an}的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2,
可知当N为
时(n∈N+),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,
容易得到N>100时,n≥14,
A项,由
435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A项符合题意.
B项,仿上可知B项不符合题意.
325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故
C项,仿上可知
数幂,故C项不符合题意.
210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整
D项,仿上可知故D项不符合题意. 故选A.
105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,
方法二:由题意可知:,,,,
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1, 每项含有的项数为:1,2,3,…,n,
总共的项数为N=1+2+3+…+n,
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