圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

练习3：过2x?y?1上的点作动弦AB、AC且k?k?3，证明BC恒过定点。

练习:4：设A、B是轨迹C：y?2px(P?0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变

22ABAC2

化且?????时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的4坐标。

已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦

MN的长为8.

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

练习5：

练习6：已知点B??1,0?,C?1,0?,P是平面上一动点，且满足uuuruuuruuuruuur|PC|?|BC|?PB?CB

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得(x?1)?y?1?x,化简得y?4x. （5分）

(2)将A(m,2)代入y?4x得m?1,?点A的坐标为(1,2). 设直线DE的方程为x?my?t代入y?4x,得y?4mt?4t?0, 设D(x,y),E(x,y)则y?y?4m,y?y??4t，??（?4m)?16t?（0*）

?AD?AE?(x?1)(x?1)?(y?2)(y?2)?xx?(x?x)?1?y?y?2(y?y)?4 yyyy???(?)?y?y?2(y?y)?5 4444222222211221212212212121212121212221212(y1?y2)2(y1?y2)2?2y1?y2???y1?y2?2(y1?y2)?5164(?4t)2(4m)2?2(?4t)???(?4t)?2(4m)?5?0化简得t2?6t?5?4m2?8m164

2即t2?6t?9?4m2?8m?4即（t?3）?4(m?1)2?t?3??2(m?1)

?t?2m?5或t??2m?1,代入（*）式检验均满足??0?直线DE的方程为x?m(y?2)?5或x?m(y?2)?1?直线DE过定点(5,?2).

（定点（1，2）不满足题意）

练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

uuuuruuur（I）证明: OM?OP为定值; （II）若△POM的面积为5，求22向量OM与OP的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定

第22题

点.

解：（I）设点M(y4,y),P(y4,y),?P、M、A三点共线，

212212?kAM?kDM,即y1y?1421?y1?y2,22y1y2?44

即y11?,?y1y2?42y1?4y1?y2

2y12y2?OM?OP???y1y2?5.44(II)设∠POM=α，则|OM|?|OP|?cos??5.

5?S?,?|OM|?|OP|?sin??5.由此可得tanα=1. 2?ROM又??(0,?),???45?,故向量OM与OP的夹角为45?.

(Ⅲ)设点Q(y4,y),?M、B、Q三点共线，?k233BQ?kQM,

y1?y3y3?11,即?,222y3y12y3y3?4y1?y3?1?4442?(y3?1)(y1?y3)?y3?4,即y1y3?y1?y3?4?0.LLLL11分444?y1y2?4,即y1?,??y3??y3?4?0,y2y2y2即?y3

即4(y?kPQ?2?y3)?y2y3?4?0.(*)y2?y34?22y2?y3y3y2?44

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